基于嵌入式系统的FFT算法分析及设计方案

概述：

目前国内有关数字信号处理的教材在讲解快速傅里叶变换(FFT)时，都是以复数FFT为重点，实数FFT算法都是一笔带过，书中给出的具体实现程序多为BASIC或FORTRAN程序并且多数不能真正运行。鉴于目前在许多嵌入式系统中要用到FFT运算，如以DSP为核心的交流采样系统、频谱分析、相关分析等。本人结合自己的实际开发经验，研究了实数的FFT算法并给出具体的C语言函数，读者可以直接应用于自己的系统中。

首先分析实数FFT算法的推导过程，然后给出一种具体实现FFT算法的C语言程序，可以直接应用于需要FFT运算的单片机或DSP等嵌入式系统中。

1 倒位序算法分析

按时间抽取(DIT)的FFT算法通常将原始数据倒位序存储，最后按正常顺序输出结果X(0)，X(1)，...，X(k)，...。假设一开始，数据在数组 float dataR[128]中，我们将下标i表示为(b6b5b4b3b2b1b0)b，倒位序存放就是将原来第i个位置的元素存放到第(b0b1b2b3b4b5b6)b的位置上去.由于C语言的位操作能力很强，可以分别提取出b6、b5、b4、b3、b2、b1、b0，再重新组合成b0、b1、b2、b3、b4、b5、b6，即是倒位序的位置。程序段如下(假设128点FFT)：

/* i为原始存放位置，最后得invert_pos为倒位序存放位置 */

　int b0=b1=b2=b3=b4=b5=6=0;

b0=i&0x01; b1=(i/2)&0x01; b2=(i/4)&0x01;

b3=(i/8)&0x01; b4=(i/16)&0x01; b5=(i/32)&0x01;

b6=(i/64)&0x01; /*以上语句提取各比特的0、1值*/

invert_pos=x0*64+x1*32+x2*16+x3*8+x4*4+x5*2+x6;

大家可以对比教科书上的倒位序程序，会发现这种算法充分利用了C语言的位操作能力，非常容易理解而且位操作的速度很快。

2 实数蝶形运算算法的推导

我们首先看一下图1所示的蝶形图。

蝶形公式：

X(K) = X’(K) + X’(K+B)W PN，

X(K+B) = X’(K) - X’(K+B) W PN

其中W PN= cos(2πP/N)- jsin(2πP/N)。

设 X(K+B) = XR(K+B) + jXI(K+B)，

X(K) = XR(K) + jXI(K)，

有：

XR(K)+jXI(K)= XR’(K)+jXI’(K)+[ XR’(K+B) + jXI’(K+B)]*[ cos(2πP/N)-jsin(2πP/N)];

继续分解得到下列两式：

XR(K)= XR’(K)+ XR’(K+B) cos(2πP/N)+ XI’(K+B) sin (2πP/N) (1)

XI(K)= XI’(K)-XR’(K+B) sin(2πP/N)+XI’(K+B)cos (2πP/N) (2)

需要注意的是： XR(K)、XR’(K)的存储位置相同，所以经过(1)、(2)后，该位置上的值已经改变，而下面求X(K+B)要用到X’(K)，因此在编程时要注意保存XR’(K)和XI’(K)到TR和TI两个临时变量中。

同理：XR(K+B)+jXI(K+B)= XR’(K)+jXI’(K)- [ XR’(K+B)+jXI’(K+B)] *[ cos(2πP/N)-jsin(2πP/N)]继续分解得到下列两式：

XR(K+B)= XR’(K)-XR’(K+B) cos(2πP/N)- XI’(K+B) sin (2πP/N) (3)

XI(K+B)= XI’(K)+ XR’(K+B) sin(2πP/N)- XI’(K+B) cos (2πP/N) (4)

注意：

①在编程时，式(3)、(4)中的XR’(K)和XI’(K)分别用TR和TI代替。

②经过式(3)后，XR(K+B)的值已变化，而式(4)中要用到该位置上的上一级值，所以在执行式(3)前要先将上一级的值XR’(K+B)保存。

③在编程时，XR(K)和XR’(K)，XI(K)和XI’(K)使用同一个变量。

通过以上分析，我们只要将式(1)、(2)、(3)、(4)转换成C语言语句即可。要注意变量的中间保存，详见以下程序段。

/* 蝶形运算程序段 ，dataR[]存放实数部分，dataI[]存放虚部*/

　　　　　　/* cos、sin函数做成表格，直接查表加快运算速度 */

　　　　　　TR=dataR[k]; TI=dataI[k]; temp=dataR[k+b];/*保存变量，供后面语句使用*/

　　　　　　dataR[k]=dataR[k]+dataR[k+b]*cos_tab[p]+dataI[k+b]*sin_tab[p];

　　　　　　dataI[k]=dataI[k]-dataR[k+b]*sin_tab[p]+dataI[k+b]*cos_tab[p];

　　　　　　dataR[k+b]=TR-dataR[k+b]*cos_tab[p]-dataI[k+b]*sin_tab[p];

　　　　　　dataI[k+b]=TI+temp*sin_tab[p]-dataI[k+b]*cos_tab[p];

3 DIT FFT算法的基本思想分析

我们知道N点FFT运算可以分成LOGN2 级，每一级都有N/2个碟形。DIT FFT的基本思想是用3层循环完成全部运算(N点FFT)。

第一层循环：由于N=2m需要m级计算，第一层循环对运算的级数进行控制。

第二层循环：由于第L级有2L-1个蝶形因子(乘数)，第二层循环根据乘数进行控制，保证对于每一个蝶形因子第三层循环要执行一次，这样，第三层循环在第二层循环控制下，每一级要进行2L-1次循环计算。

第三层循环：由于第L级共有N/2L个群，并且同一级内不同群的乘数分布相同，当第二层循环确定某一乘数后，第三层循环要将本级中每个群中具有这一乘数的蝶形计算一次，即第三层循环每执行完一次要进行N/2L个碟形计算。

可以得出结论：在每一级中，第三层循环完成N/2L个碟形计算；第二层循环使第三层循环进行2L-1次，因此，第二层循环完成时，共进行2L-1*N/2L=N/2个碟形计算。实质是：第二、第三层循环完成了第L级的计算。

几个要注意的数据：

①在第L级中，每个碟形的两个输入端相距b=2L-1个点。

②同一乘数对应着相邻间隔为2L个点的N/2L个碟形。

③第L级的2L-1个碟形因子WPN 中的P，可表示为p = j*2m-L，其中j = 0，1，2，...，(2L-1-1)。

以上对嵌入式系统中的FFT算法进行了分析与研究。读者可以将其算法直接应用到自己的系统中，欢迎来信共同讨论。(Email：xiaowanang@163.net)

附128点DIT FFT函数：

/* 采样来的数据放在dataR[ ]数组中，运算前dataI[ ]数组初始化为0 */

void FFT(float dataR[]，float dataI[])

{int x0，x1，x2，x3，x4，x5，x6;

int L，j，k，b，p;

float TR，TI，temp;

/********** following code invert sequence ************/

for(i=0;i<128;i++)

{ x0=x1=x2=x3=x4=x5=x6=0;

x0=i&0x01; x1=(i/2)&0x01; x2=(i/4)&0x01; x3=(i/8)&0x01;x4=(i/16)&0x01; x5=(i/32)&0x01; x6=(i/64)&0x01;

xx=x0*64+x1*32+x2*16+x3*8+x4*4+x5*2+x6;

dataI[xx]=dataR[i];

}

for(i=0;i<128;i++)

{dataR[i]=dataI[i]; dataI[i]=0; }

/************** following code FFT *******************/

for(L=1;L<=7;L++) { /* for(1) */

b=1; i=L-1;

while(i>0)

{b=b*2; i--；} /* b= 2^(L-1) */

for(j=0;j<=b-1;j++) /* for (2) */

{p=1; i=7-L;

while(i>0) /* p=pow(2，7-L)*j; */

{p=p*2; i--；}

p=p*j;

for(k=j;k<128;k=k+2*b) /* for (3) */

{ TR=dataR[k]; TI=dataI[k]; temp=dataR[k+b];

dataR[k]=dataR[k]+dataR[k+b]*cos_tab[p]+dataI[k+b]*sin_tab[p];

dataI[k]=dataI[k]-dataR[k+b]*sin_tab[p]+dataI[k+b]*cos_tab[p];

dataR[k+b]=TR-dataR[k+b]*cos_tab[p]-dataI[k+b]*sin_tab[p];

dataI[k+b]=TI+temp*sin_tab[p]-dataI[k+b]*cos_tab[p];

} /* END for (3) */

} /* END for (2) */

} /* END for (1) */

for(i=0;i<32;i++){ /* 只需要32次以下的谐波进行分析 */

w[i]=sqrt(dataR[i]*dataR[i]+dataI[i]*dataI[i]);

w[i]=w[i]/64；}

w[0]=w[0]/2;

} /* END FFT */

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