用矢量旋转求解平方根的算法及其FPGA实现

VR算法适于计算三角函数，在进行开平方运算时，可利用三角函数倍角之间的关系，将开平方运算转化为三角函数运算。对于t∈[-1，1]，初始向量M0(x0，y0)在[0，p]内逆时针旋转，每次旋转角度Dq，经过i次旋转后，总能使得xi=cos(i×Dq)≈t，Dq越小，近似程度越高。

先考察在[0，1]之间的任意实数。假设待开方数为s，且s∈[0，1]。有：

参数讨论

为了将该算法在FPGA上实现，需要选择合适的参数以降低实现的复杂度。在FPGA上实现加减法比较简单，而要实现乘法会比较复杂，在公式(3)中就涉及到乘法运算，要是能通过移位实现乘法将大大提高运算速度。因此Dq要尽量小，以获得更高的近似度，而且这样公式(3)中的cos(Dq)≈1，由此可简化计算;另外yi-1tan(Dq)，xi-1tan(Dq)要能通过数据移位实现。因此选择合适的Dq，使得，这样公式(3)中的迭代运算就可用右移k位实现，公式(3)可以简化为：

但如果Dq太小，会使迭代次数增多，因此选取合适的Dq是必要的。