一种利用超声散射测量材料内部微裂纹分形参数的新方法

1 引言

        材料中实际裂纹的形状参数和空间分布信息在缺陷无损评估中变得越来起重要。它们表明了裂纹的折皱程度，扩展路径，在一定程度上还反映了裂纹的成因。根据裂纹的这些信息，可以在线评估材料的工作状态，预测材料的工作寿命，甚至可以分析导致裂纹产生的物理和化学原因。所以，长期以来人们一直在探索描述真实裂纹的方法。分形可以表示自然界中的不规则性，而实际的裂纹有着非常复杂和不规则的形状，且存在统计意义上的自相似性，科研工作者已经成功地用分形的方法来描述真实的裂纹[1]-[6]，但是目前测量裂纹的分形参数非常费时。我们提出了一种利用超声波来测量实际裂纹分形参数的方法，并在论文中给出了这种方法测量的理论模型和数值仿真结果。

        应用形状参数来描述真实裂纹的方法可以追溯到六十年前，当时是用来描述材料断口的形状。Womersley 和Hopkins 首次用随机函数来刻画粗糙的断口形状，这种方法已经有成功的应用。后来，Mandelbrot等人发现这种断裂面即使很不平整也可用分形表面来描述。在他们研究的基础上，后来有许多科研工作者在相关的领域进行过大量的研究。从国内外收集的文献可以看出，这些研究工作主要包括以下三个方面[7]-[12]：一是裂纹的分形几何参数的测量方法；二是利用测得的分形量化参数进行裂纹成因的探索；三是根据测得的裂纹分形几何参数预测裂纹的扩展路径。综合分析三大研究领域发现，如何方便快捷地测量裂纹的分形几何参数是所有研究的关键。传统的测量真实裂纹的分形参数的方法主要有小岛法、断面法、电磁散射法和光散射法，所有这些方法都有一个缺点就是既不方便又耗时，因为这些方法在测量时，都需要将裂纹沿裂纹面剖开，以便轮廓仪可以直接接触到断裂面或是电磁波与光可以直接照射在裂纹上。近几年，有学者提出了用声波的方法来测量裂纹的分形几何参数的方法，利用声波法可有效地克服以上方法的不足，因为声波可以有效地穿透材料内部并进行测量，而不需要对裂纹进行剖切。

　　Debashree Dutta[13]等人在1988年率先研究了分形裂纹的声学特性，他们建立了裂纹的分形参数与其声散射场的关系，根据其研究成果，人们可以通过声波来测量裂纹的分形参数（Hurst 指数）。Debashree Dutta等人只从理论上推导了裂纹表面的不规则性（这种不规则性可用分形参数—Hurst 指数来度量）是如何影响其上的声波的散射强度的，在他们的研究中，声波采用准正弦脉冲声波。

        在本研究中，利用超声波代替普通声波，因为超声波具有更高的频率，高频特性可以用来提高检测的灵敏度。在此基础上，推导了裂纹分形参数（Hurst 指数）是如何影响超声波的时域回波信号的理论模型。与Debashree Dutta等人的方法相比，本研究中用了较少的假设，建立的模型更加简便，检测灵敏度更高，并且对理论模型进行了数值仿真。

        论文第二部分，用具有平稳特性且服从高斯分布的自相似随机函数的组合来模拟微裂纹。因为微裂纹具有平稳自相似特性，可以用一维分形布朗运动（FBM）模型来描述。这一模型使我们可以用分形参数， Hurst指数来表征微裂纹。

        论文第三部分，用基尔霍夫近似方法研究了微裂纹的超声散射声场，最后推导出了微裂纹的超声散射回波与Hurst 指数的关系式。

        论文第四部分，对在不同的材料内部，不同Hurst指数的微裂纹，不同测量距离时的裂纹超声散射声场进行了数值模拟。

2 微裂纹分形模型

        Womersley和Hopkins首先提出用零均值且服从高斯分布的随机函数来模拟裂纹。从这一理论出发，裂纹可以用带随机变量的复指数函数形式来表示： 
                                      (1)
式中，Cκ是模小于1的复随机变量。为了研究的方便把e（x）归一化，同时为了保证（1）式收敛，取=1 。

        Mandelbrot在1982年引入分形布朗运动（FBM）的概念，作为随机函数的推广。从这一理论出发，一维微裂纹可以用下面的函数来表示： 
                      (2)
式中，Cκ是随机变量，服从零均值、均方差为1的高斯分布。
λ是大于1的常量。
Ακ是在区间[0,2π]上服从均匀分布的随机变量。
H是 Hurst 指数。

       Mandelbrot指出，FBM是增量为零均值平稳实过程。f（x,H）的统计特性与原点无关，FBM具有统计自相关性和长时相关性。对于有限维的FBM，它的联合概率分布具有比例不变性。

        在本研究中，采用FBM作为微裂纹的模型。

3 微裂纹的超声散射声场模型

        超声传感器S放在距裂纹中心线高度为R的上方（图-1）。在超声测量时，超声传感器向裂纹发射超声波，设发射的超声波是频率为其中心频率的纯频波，具有以下的形式：             (3)
式中，Α0 是信号幅值；ω0 是超声波中心频率。

图-1 分形微裂纹几何示意图

        事实上，测试中用到的超声波往往是脉冲波，所以，在研究中采用连续波被高斯函数调制的形式，有以下的表达式： 
                                       (4)
式中，g(t)是零均值的高斯函数，可表示如下： 
                                    (5)
        实测中，把超声传感器S当作一个点源，向外发射球面脉冲波。当点源S与裂纹间的距离r 远大于超声传感器的晶片直径d (r>>d)时，裂纹上一点在时刻 t 接收到的超声波为： 
                             (6)
式中， c 超声波的传播速度。

        当超声波到达裂纹表面时，在裂纹表面产生散射。目前还没有确切地算法可用来计算超声波的散射回波声场。在研究中，我们把它当作二次点源，向外辐射球面波。我们将利用基尔霍夫近似来计算由裂纹散射的超声回波。此时，超声回波可看作由裂纹表面上的二次点源辐射的球面波的合成，并假设超出超声波照射范围的裂纹上的点没有声波的散射，散射回波是关于超声传感器所在的位置的中心线对称的，在计算超声回波时，忽略裂纹上的多次散射回波，不计裂纹上没有被直接照射的点的超声回波，并且认为裂纹都是近轴分布的，我们可以得到下面的超声回波的表达式： 
             (7)
式中， 是超声传感器与裂纹上点的距离。
是超声传感器到裂纹中心线的垂直距离。
是超声传感器中心线到超声最大照射范围的单边长度。
       
        从图-1所示的几何关系可以得到： 
                          (8)
        用方程式(8)中的 替代超声回波计算式中的 ，可以将超声回波化为： 
                            (9)
        特别地，我们可以取某一时刻 的超声回波作为研究对象，时刻 可以选为 ，即超声波从传感器中心线返回时刻。则在这一时刻的超声回波可以表示为： 
                                (10)
式中,

       
        方程 (10) 就是关于超声散射回波与微裂纹分形参数（ Hurst指数）的关系模型。当方程中除Hurst指数外的其它参数给定时，我们就可以根据试验测得的时刻τ的裂纹散射回波D(τ)来确定裂纹的分形参数H。 我们可以利用这个关系来实现微裂纹分形参数的测量。

        考虑到方程(10)中积分项不能直接计算，因为f(x,H) 没有导数，所以我们采用数值计算的方法来近似计算这一积分，在这种情况下，方程(10)可化为： 
                   （11）
如果步长 Δx 选的足够小，计算结果可以保证精度的要求。

4 模型数值仿真与分析

        作为模型的实际应用，我们分别计算了模型在不同分形参数、不同的测量距离和不同材料上的超声散射回波。

        试验中，采用了三种不同的材料，分别是铝、钢和和玻璃，超声波在三种材料中的声速分别为6300m/s，5900m/s 和5570m/s。超声波的中心频率为5MHz，超声传感器的晶片直径为10mm。

        图-2是不同分形参数的微裂纹在时刻 时的超声散射回波，图中分别给出了三种材料对应的仿真结果。从图中可以看出，不同分形参数的裂纹对应不同的超声散射回波，表明在时刻 的超声散射回波可以表征裂纹的不规则程度和复杂性，并且超声散射回波与裂纹的 Hurst指数是一一对应的，所以，我们可以用这种方法来测量微裂纹的分形参数。

图-2 不同分形参数微裂纹在时刻 的超声散射回波

        图-3是在不同的测量距离时，三种不同材料内部微裂纹的超声散射回波。图中分别给出了Hurst指数为0.2和0.8两种情况下，三种不同材料的超声散射回波的仿真结果。从图中可以看出，当测量距离增加时，超声回波快速下降，这与实际情况是相符的。同时可以看出，当测量距离一定时，超声回波与Hurst指数是一一对应的。仿真结果表明，我们所建立的测量模型是正确可行的。所以，可以采用这种方法，在不需要对裂纹进行剖切的情况下，对不同材料内部的微裂纹的分形参数进行测量，该方法与传统的测量方法相比，更加方便。

                    
              图-3 不同测量距离时材料内部微裂纹的超声散射回波

5 结论

        论文提出了一种利用超声波对材料内部微裂纹分形参数（Hurst指数）进行测量的新方法。论文首先采用一维分形布朗运动（FBM）来描述材料内部的微裂纹，然后，建立了微裂纹超声散射回波的数学模型，该模型建立起了时刻 的超声回波信号与裂纹分形参数之间的关系，从理论上说明了这种测量方法的可行性。最后，对不同分形参数、不同材料和不同测量距离的情况分别进行了数值仿真，试验结果也表明了这种方法的可行性。与传统的裂纹分形参数测量方法相比，该方法具有高效和省时的特点。