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信号完整性分析基础之十——串行数据测试的总体抖动算法

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在高速串行数据的测试中,抖动的测试非常重要。在串行数据的抖动测试中,抖动定义为信号的边沿与其参考时钟之间的偏差。对于抖动测量值的量化,通常有抖动的峰峰值和有效值这两个参数。不过,抖动的峰峰值随着测量时间的增加,测量值不断变大,不能将抖动值与误码率直接联系起来,所以对于抖动测试,抖动的峰峰值并不是一个理想的指标来很衡量器件和系统的性能。
总体抖动(Total Jitter,简称Tj)为某误码率(Bit Error Ratio,简称BER)下抖动的峰峰值,在很多串行数据的规范中通常需要测量误码率为10e-12的Tj,简写为Tj@BER=10e-12。对于BER小于10e-8的Tj的测量,通常只有误码率测试仪BERT可以直接测量到。对于示波器,假设该高速信号为2.5Gbps的PCIe,单个bit的时长为Unit interval = 400ps,假设示波器采样率为20G采样率,则1个bit上包括了400ps/50ps = 8个采样点,一次分析1M个bit需要8M的存储深度,如果要测量10个比特的抖动,需要让示波器在8M的存储深度下扫描100次,由于示波器在8Mpts时计算抖动已经很耗时,重复100次的测试时间会非常长。所以示波器测量小于10e-12的误码率时的总体抖动必须通过某些算法来估算Tj。



图1:TIE抖动图示与抖动概率密度函数(PDF)

基于示波器求解抖动的算法通常在三个领域观察和分析,即时域、频域、统计域。比如TIE track即为TIE抖动在时域的函数;在频域分析抖动的频谱,可以计算周期性抖动Pj和随机抖动Rj;TIE直方图、Tj的概率密度函数(Probability Density Function,简称PDF)是在统计域来分析抖动。
对于总体抖动的计算,通常从统计域分析,即分析抖动的直方图、概率密度函数PDF和累计分布函数(Cumulative Distribution Function,简称CDF)。
概率密度函数PDF的定义为:对于实数随机变量X,任何满足下列条件的函数 
都可以被定义为其概率密度函数 :
在下图2中简要描述了从TIE直方图生成PDF、CDF、浴盆曲线Bathtub curve的过程。
在第一步的图示中,X轴是抖动的值,Y轴是某个抖动值上的样本数量,示波器测量每个信号每个边沿与参考时钟的偏差(即TIE),统计在某个抖动值上边沿的数量,得到TIE的直方图;
第二步中对直方图做归一化,即直方图中每个方柱子的数量除以样本总数,得到每个抖动值的发生概率,在这一步中即可得到TIE的概率密度函数PDF;



图2:抖动的直方图与PDF
在第三步中,对PDF的直方图从左右两边向中央进行积分。假定信号边沿相对理想位置超出距离x时,可能导致误码,误码率是对PDF从x到∞或-∞的积分(当x大于0时为∞,小于0时为-∞):BER(x) = 
=1-CDF(x)。然后,对Y轴取对数后如下图3中深蓝色直方图。所示,由于测试样本较少,最矮的直方图的概率(即误码率)仅1%=10e-2,要计算10e-12的BER,需要对现有的BER直方图进行外插值;
在第四步中(如下图3中Step4的图片)显示了外插值后的BER图,绿色的柱子是外插值得到的,在图上测量10e-12时抛物线形状的BER曲线的内侧的宽度,即可得到Tj;
第五步中把外插值后的BER图(类似于抛物线的曲线)以x=0分割成两条曲线后,设定横轴的最大值为0.5UI(Unit interval,即一个比特的宽度),最小值为-0.5UI,即水平方向正好一个UI的宽度,把Step4中生成的BER图左半部分的曲线右移靠最右边,右半部分的曲线左移靠最左边,即可得到浴盆曲线Bathtub curve。



图3:抖动的PDF/BER/CDF与浴盆曲线

当然,在上述的Tj求解过程中,除了BER图中的外插值部分,其他都是基于实测结果计算的,所以BER图的外插值是示波器的抖动分析算法中最关键的一部分。外插值算法的模型精准度决定了Tj计算的精度。由于外插值算法是对实测的BER/CDF图中尾部进行拟合和外插值,在国外的相关文献中称为tail-fit算法。
在业界除了对BER图进行外插值以获取小误码率的Tj这种方法外,另外一种方法是对PDF进行外插值,得到BER<10e-12的PDF,然后积分得到BER/CDF和浴盆曲线,从而算出Tj。两种算法分别称为PDF尾部拟合算法(tail-fit method for PDF)和BER/CDF尾部拟合算法(tail-fit method for the BER/CDF)。
下面简要介绍一种tail-fit method for PDF方法。如下图4所示:
第一步统计TIE分布的直方图,测量的样本数量越多,推算的Tj越准确,在下面的TIE直方图中包括了102.6k个样本;
第二步对TIE直方图的Y轴(即样本数量)取对数,把Y坐标变为对数坐标,对数运算后直方图的轮廓近似为二次方程曲线;
第三步使用最小二乘法对两个尾部进行拟合;
第四步对直方图的尾部进行外插值,归一化后可得到BER=10e-16 的概率密度函数;
第五步对每一个偏移值x进行积分:BER(x) = 
=1-CDF,得到BER/CDF曲线;
第六步测量某误码率下CDF曲线的宽度即为总体抖动Tj。


 

图4:PDF的尾部拟合算法计算总体抖动

在尾部拟合(tail-fit)算法中,前提是测量的抖动样本足够多,抖动直方图中包括了很多小概率的抖动事件,通常这些小概率的抖动样本分布在直方图的尾部,在尾部有了足够的样本后才可以准确的进行尾部拟合与外插值。
总结:
本文简要介绍了总体抖动的直方图、概率密度函数、误码率BER与累计分布函数CDF、浴盆曲线,以及两种tail-fit算法的处理步骤,后续的文章将介绍力科独特的抖动求解算法——NQ-Scale算法以及串行数据分析仪SDA中的几种抖动分解方法。
参考文献:
1, Jitter, Noise, and Signal Integrity at High-Speed, Mike Peng Li
2, Fibre Channel – Method Jitter and Signal Quality Specification – MJSQ, T11.2/Project 1315-DT/Rev 14.1, June 5, 2005.

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