基于带阻滤波器的无阻尼系统校正设计

　　摘要：高精度加速度计是旋转加速度计重力梯度仪的核心惯性元件，为降低表头的热噪声，梯度仪用加速度计表头保持真空状态，即表头摆片处于无阻尼运动状态，因此对于这种加速度计回路校正提出了很高要求。针对加速度表头无阻尼状态，利用 Bainter 陷波器与超前滞后装置对加速度计回路进行校正，通过 Matlab 仿真与普通校正方法进行比较，说明这样的无阻尼系统加入 Bainter 陷波器后，不仅能够使系统的校正更加容易实现，而且还有效降低了系统的带宽，从而减小噪声误差的影响。另外，由于重力梯度仪所用的四个加速度计具有频响一致性的要求，通过调节陷波器的参数，可以近似消除加速度计摆片的两个极点，使加速度的响应趋向一致。

　　旋转重力梯度仪用加速度计是一种挠性加速度计，为了减少表头内的空气热噪声，对加速度计表头进行了真空处理，由此挠性加速度计摆片将处于真空状态。加速度计工作在低阻尼状态时，给系统校正带来一定的困难。本文主要是利用Bainer 陷波滤波器消除加速度计表头传函中的两个零点，从而使加速度计力平衡回路处于稳定工作状态。

　　为了使加速度计静态误差为零，通常在前向通道加入积分环节。整个系统传递函数框图如图 2 所示。当系统精度达到 10-8的要求时，需要系统开环放大系数为：

　　其 Bode 图如图 3 所示。由图3可见，由于系统阻尼系数较小，在40 dB/Oct的转折频率处相位直降 90°，因此校正系统时首先应考虑提高在转折点之后的系统相位，同时考虑到系统的幅值本身就较高，因此提升相位时零点的位置又不能太靠前，否则将使截止频率大幅增加，从而增加系统的噪声。但是，零点选择也不能太靠后，否则，在所需的设计频率处相位提高不会很多，同样需要延长截止频率来提高相位裕度。因此，采用折衷的方法，用零点 200 来提升相位，这样传递函数变为：

　　当取bw =170 时，a=8652，aw =151.3;当bw =340 时，a=4326，aw =4.6。系统的开环 Bode 图如图 5 所示。由图 5 可见，校正后bw 取不同值时的系统Bode 图基本一致，而且截止频率都在cw=635rad/s 处，相位裕度 r 都等于 44.1°，同时系统还是条件稳定的。两个系统的闭环阶跃响应如图6 所示。由系统Bode图和阶跃响应可知，经校正后，新系统都是稳定的。但是，对于上面的校正参数aa w 最小为 57，最大为 943。即使对于最小的57，如果利用有源校正装置进行校正的话，也是难以实现的，因为通常aa w 是校正环节中的 RC 常数，也就意味着R、C 都要取非常大的值，即使对于 C=10 μF的电容，电阻也需要取到 5.7 M ，这样大的电阻对于电路板应用也是不适合的(通常情况，电路板设计时电阻阻值不能超过 1 M ，除非采取了特别防护措施)。这时，应适当增加系统带宽，从而降低实际电路设计的要求。取截止频率w = 1200 rad sc，相位

　　其校正后，Bode 图和阶跃响应图与前面校正后系统基本相同，只不过把截止频率移到了cw =1200 rad s附近。但是对于新的参数，aa w 最小只有 2135/311=6.8，相对原先的 57，小了近 10 倍，因此可以大大降低电阻值。在 C=10 μF时，电阻取 R=680 k 即可。但是这样做使带宽比原先增加了一倍，从而给系统带来了更大的噪声。对于像重力梯度仪这样的高精密电路，降低其噪声是极其重要的，因此这样的校正系统还是不能满足系统的总体要求。

　　3 带有 Bainter 陷波器的校正

　　现在在系统中加入 Bainter 陷波器，然后再对系统进行校正。Bainter 陷波器的电路图如图 7 所示。

　　对于bw <150 或bw >330 的bw 值，不存在使系统稳定的校正参数。校正后系统的 Bode 图见图 9。如图 9 所示，如果忽略陷波处的频率和相位，那么系统的截止频率 665 rad scw = ，相位裕度为 r=46°。系统对应的阶跃响应如图 10 所示。

　　由图 10 可知，对于不同的bw ，调节时间基本相同，但是超调量却随着bw 的增大而减小。而此时aa w 的范围是 1.13～12.23。因此，可以折衷考虑超调量和电路实现性，取bw =300，aa w =3.91，电容 C=10 μF，电阻 R=390 k ，从而实现系统的稳定。因此最终校正后的系统方程为：

　　4 结 论

　　由文中分析可知，在加速度计回路系统中加入陷波器后，不仅能够使系统的校正更加容易实现，而且还有效降低了系统的带宽。由于重力梯度仪所用的四个加速度计具有频响一致性的要求，加入陷波器通过近似消除加速度计的摆片的两个极点，可使加速度的响应更加一致。但同时系统的超调量有所增加，由图 10 可见，校正后系统的超调量基本上达到了 40%。

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