大型光学望远镜副镜位置精调机构的优化设计

　　1　引　言

　　大型光学望远镜中主镜和副镜的相对位置和姿态有严格的要求。由于制造、安装、重力、传热和材料性质变化等原因,主副镜的相对位姿会发生改变,导致像质下降和像位置的漂移,因此,需要主动校正主副镜的相对位姿,将位姿偏差限定在许可精度范围内。

　　Gough-Stewart平台机构具有6个自由度、高精度、高刚度、高稳定性等优点,已应用在大型光学望远镜的主镜和副镜相对位姿调整中[1-4]。文献[5]根据精度、行程和带宽等要求对驱动支杆的伸缩比和关节部件的设计进行了分析,为保证支杆的运动精度,以减少驱动支杆的负载的最大值为目标,根据某些既定的结构参数,选取了机构的结构参数。文献[6]介绍了GTC望远镜副镜位姿精调机构中驱动器、柔性关节和锁紧部件等关键部件的设计。文献[7]讨论了位姿精调机构的性能要求。目前,介绍基于Gough-Stewart平台副镜位姿精调机构进行优化设计的文献很少。

　　本文针对大型光学望远镜的主镜与副镜的相对位姿的调整,按照运动精度准则和刚度等设计准则,构造了有约束统一目标函数,对副镜位姿精调机构(以下简称精调机构)的结构参数进行了优化。

　　2　精调机构的性能要求

　　以经典的卡塞格林望远镜系统为例来分析精调机构的性能要求[8]。经典的卡塞格林望远镜的主镜反射面是旋转抛物面,副镜反射面是旋转双曲面(见图1)。主副镜的相对位姿要求:

　　(1)位置要求:副镜的旋转双曲面的一个焦点与主镜的旋转抛物面的焦点重合;

　　(2)姿态要求:主镜的光轴与副镜的光轴重合。

　　对精调机构的性能要求:

　　(1)自由度要求:除去副镜绕自身光轴的转动外,副镜的其余5个自由度的运动均改变主副镜的相对位姿。要求精调机构具有至少5个自由度。

　　(2)行程要求:如前所述的扰动引起的位置误差和姿态误差的数量级分别为毫米级和角分级,要求精调机构的行程达到毫米级和角分级[1,7]。

　　(3)精度要求:成像质量对位姿精调的精度要求非常高,达到微米级和角秒级[1,7]。

　　(4)挡光面积要求:除去副镜及其支撑结构不可避免的发生挡光外,不允许精调机构挡光。

　　(5)速度要求:重力、传热和材料性质变化等原因引起的位姿变化速度是缓慢的。精调机构对调节速度不做特殊要求。

　　3　设计准则

　　Gough-Stewart平台机构由动平台、定平台和连接两平台的6根可伸缩的支杆组成,每根支杆的两端通过球铰或虎克铰与动平台和定平台铰接,具有6个自由度、高精度、高刚度、高稳定性等优点。

　　对于Gough-Stewart平台机构而言,自由度和行程满足精调机构的要求;挡光面积最小化要求实质上限定了精调机构的动平台或定平台的尺寸上限小于副镜。运动精度则因机构参数差异而有很大差异,是机构优化设计的重点;为了实现高精度运动的要求,不仅需要精调机构的运动传递精度高,而且也要求机构具有很高的刚度。为此,提出了机构参数优化设计的2个准则。

　　3.1　运动精度准则

　　以支杆驱动器的广义速度.q和动平台的广义速度.x作为Gough-Stewart平台机构的广义输入和输出速度,则有:

　　其中,J为Gough-Stewart平台机构的雅可比矩阵。J的条件数λJ是衡量J的逆J-1的精度的一个度量。λJ的定义为:

　　λJ∈[1,∞)。J不是常数矩阵,它随动平台位姿而变化。当λJ=1时,Gough-Stewart平台机构处于各向同性位姿,具有良好的运动传递性能;λJ越接近1,Gough-Stewart平台机构的运动传递性能越好;当λJ较大时,J-1的精度较低,机构处于奇异位姿或奇异位姿附近,机构的运动传递性能恶化,输入和输出运动之间的传递关系严重失真[9-10]。

　　设计时,应保证λJ在所有位姿处具有尽可能小的值,因此,λJ在工作空间上的均值能总体表征Gough-Stewart平台机构的运动传递精度性能。本文以λJ的倒数在可达工作空间Ω上的均值作为总体衡量机构运动传递精度的全条件性性能指标[11-12]:

　　-λJ∈(0,1],-λJ越大,运动传递性能越好。

　　3.2　刚度准则[11-12]

　　在外力的作用下,Gough-Stewart平台机构发生变形,影响副镜的位姿精度。设广义力f作用于动平台,平衡状态下驱动关节的广义力为τ,此时,支杆发生变形Δq(即驱动关节的位移增量)。若只考虑杆长的变化,忽略其它变形,则动平台的位姿误差为:

　　Δx=Cf, (4)

　　其中,C为支杆柔度矩阵,,K为支杆刚度向量,K=diag(k1,k2,…,k6),ki为支杆i(i=1,2,…,6)的刚度。改写式(4),得:

　　其中,为位置变形,为姿态变形,。变形的大小与机构本身的刚度和作用力有关。原则上,变形极值越小,Gough-Stewart平台机构的刚度越大。位置误差和姿态误差的极值分别为:

　　其中,的特征值。柔度矩阵C不是常数矩阵,它随位姿而变化,因此,位姿误差随位姿而变化。

　　设计时,应保证Gough-Stewart平台机构在所有位姿处的位姿误差具有尽可能小的值。本文以位姿误差的极值在可达工作空间Ω上的平均值:

　　作为总体衡量机构刚度性能的全条件性性能指标,-λtmax和-λrmax越小,刚度性能越好。

　　4　Gough-Stewart平台机构的主要结构参数及其对机构性能的影响分析

　　4.1　主要结构参数

　　Gough-Stewart平台机构采用对称式结构,如图2所示。主要结构参数如下:

　　(1)rB—定平台与各支杆的铰接点所在平面圆(记作⊙B)的半径(简称定平台半径);

　　(2)rP—动平台与各支杆的铰接点所在平面圆(记作⊙P)的半径(简称定平台半径);

　　(3)lmin—支杆的最小长度;

　　(4)lmax—支杆的最大长度;

　　(5)B—⊙B上各铰接点分布角;

　　(6)P—⊙P上各铰接点分布角;

　　动、定平台上铰接点分布角为:

　　其中,x代表B或P,B∈[0°,60°],糚∈[0°,60°]。动坐标系和定坐标系分别与动平台和定平台固接,坐标原点分别位于⊙B和⊙P的圆心。

　　铰链的极限摆角糽im影响工作空间的大小,在位姿精调的应用中,lim满足行程的要求,不作为变量考虑。上述5个结构参数即为设计变量,表示为向量:

　　4.2　无量纲化的尺寸参数及对机构性能的影响分析

　　以无量纲的尺寸参数作为设计变量,优点是把参数空间从无限多维转换为有限维,使得在有限定的全局范围内优选机构尺寸成为可能。参数rB、rP、lmin和lmax的量纲是毫米,作无量纲化处理:

　　参数糂和糚的量纲是弧度,需单独考虑。

　　参数kll是支杆的伸缩比。为观察kll对机构性能的影响趋势,暂定其余4个参数(见表1)。

　　由图3可知,kll越接近1,运动精度性能和刚度性能越好。任意给出其他参数组合,参数kll对运动精度性能和刚度性能都有近似的影响规律,图略。

　　参数krr是动平台与定平台的半径之比。在已有的设计中,都有krr∈(0,1]。考虑到机构几何对称性和功能对称性,即动、定平台的几何位置互换后机构功能保持不变,以及优化设计的目标是得到机构参数的全局最优解,本文将krr的定义域扩大为krr∈(0,∞)。对应于krr∈(0,1]和krr∈[1,∞)2个子区域,Gough-Stewart平台机构与副镜有2种放置方式(见图4)。

　　为观察krr对运动精度性能和刚度性能的影响趋势,暂定其余4个参数(见表2)。粗选krr∈[0.2,1/0.2],且krr>1时各采样点数值分别取krr<1时各采样点数值的倒数。

　　由图5可知,krr接近1时,运动精度性能和刚度性能较好;krr<0.7时,krr越小,运动精度性能和刚度性能越差;krr>1.3时,krr越大,运动精度性能和刚度性能越差;krr>2.353,无法与其他参数配合组成机构。需要指出,减小采样间隔后,曲线在尖点附近仍然具有光滑渐变性(见图6)。任给其他参数组合,参数krr对运动精度性能和刚度性能等都有近似的影响规律,图略。

　　参数klr是支杆最小长度与定平台半径的比。为观察klr对机构性能的影响趋势,暂定其余4个参数(见表3)。

　　由图7可知,性能指标在区间[0.8,1.9]内较好。klr较小时,刚度性能较差,klr<0.8时,性能急剧恶化(数值过大,未标出);klr<0.7时,无法与其他参数配合组成机构。任给其他参数组合,参数klr对运动精度性能和刚度性能等都有近似的影响规律,图略。

　　4.3　角度参数及对机构性能的影响分析

　　为观察参数糂和糚对运动精度性能和刚度性能的影响,暂定其余3个参数(见表4)。

　　由图8可知,当"B-P"较大时,运动精度性能和刚度性能较好,当|B-P"=60°时,运动精度性能和刚度性能最好。任意给出其他参数组合,参数B和P对运动精度性能和刚度性能都有近似的影响规律,图略。

　　5　普适工作空间[13]

　　针对Gough-Stewart平台机构的设计中进行性能横向比较的实际需要,本文以普适工作空间替代可达工作空间。普适工作空间为旋转体,形状规则、简单;普适工作空间去除了可达工作空间的边缘部分,保留了可达工作空间的中心部分,比较完整的保留了机构的性能特征。结构参数不同的Gough-Stewart平台机构都具有形状相似的普适工作空间,因而同一性能指标在普适工作空间内具有可比性。

　　举例说明,机构参数见表5。坐标系同图2所示,平面OXY与水平面重合。选取平行于水平面的0°-180°、90°-270°、60°-240°、150°-330°、120°-300°、210°-30°等12个方向、与各支杆在水平面上的投影平行和垂直垂直的24个方向等共36个方向为特征方向(见图9)。依据Gough-Stew-art平台机构的结构特点,求解动定平台保持平行姿态时动平台在特征方向上的运动范围的交集。计算时仅考虑杆长对可达工作空间的影响,忽略极限摆动角和支链干涉。普适工作空间的某水平剖面和某竖直剖面见图10、11。粗线为普适工作空间边缘轮廓,细线为可达工作空间边缘轮廓,雅可比矩阵条件数在可达工作空间内的分布状况见图10、11中等高线。

　　6　多目标优化方法及算例

　　6.1　优化方法

　　根据设计准则,建立2个目标函数,其一如式(3)所示,-λJ∈(0,1],且越接近1越好,最优解为max{-λJ};其二为式(8)和(9)的线性加权组合:

　　权重wt和wr各取0.5,最优解为min{-λt-r}。

　　采用统一目标法之乘除法[14]。统一目标函数为:

　　其中,~λJ、~λt-r分别为-λJ、-λt-r的阈值。在多目标优化中,各目标即使不相互矛盾,也不能期望它们的极值点重叠。以各目标函数的阈值作为约束条件,保证了优化过程中,各目标函数的取值与最优值的偏差控制在由阈值限定的精度范围之内。本文采用目标函数的最优解加(减)裕量的方法得到阈值:

　　其中,Δ-λJ/-λJ≤3.5%,Δ-λt-r/-λt-r≤3.5%。优化设计的任务是在设计变量的定义域内找出最优解:

　　使统一目标函数取最优值。

　　为了保证搜索到全局最优解,编写了基于遗传算法的优化程序。采用改进的遗传算法[15],使子代总保留父代中最好的样本,以高适应度模式为祖先的家族方向搜索出更好的样本。算法的关键操作描述如下:

　　(1)编码。设计变量的精度分别为小数点后3位、3位、3位、1位和1位;根据变量的定义域计算染色体的二进制码长度。

　　(2)产生初始种群。初始种群中个体数目为20。

　　(3)评价个体的适应度值。采用基于目标值线性排序的适应度分配方法。

　　(4)适应度最高的2个个体直接复制到待交叉种群中。其余个体采用遍历随机抽样,按个体在当前种群中的适应度选择个体。个体被选择的概率为:

　　其中,fi是个体i的适应度,n为个体总数,pi是个体i被选择的概率。

　　(5)单点交叉概率为0.7。元素变异概率为0.7/34(0.5≤krr≤1)和0.7/35(1≤krr≤2)。遗传代数为100代。

　　为了对比动平台与定平台的半径之比krr<1和krr>1时机构的性能,下面的计算分别按照这2个定义域进行。

　　6.2　算例

　　根据对Gough-Stewart平台机构的主要结构参数的分析,并基于工艺等原因:

　　(1)较小的伸缩比即可满足副镜位姿的调整范围;支杆伸缩运动的精度直接影响动平台的运动精度,小伸缩比可以降低制造难度和造价;

　　(2)若铰接点非常接近,动平台运动过程中杆与杆之间容易发生干涉;若铰接点两两重合,即2个球铰或万向铰将合为一个复合铰,不仅运动过程中容易发生干涉,而且复合铰的制造难度高。

　　选取如下的参数定义域进行优化设计:

　　首先,得到各性能函数的最优估计值。经过100代遗传迭代,最优值的变化情况如图12、13所示。由此得到最优估计值,见表6。

　　然后,得到统一目标函数的最优值。经过100次遗传迭代,最优值的变化情况见图14。最优值及对应的机构参数值见表7、8。

　　1≤krr≤2时,统一性能函数的最优值为3.732;0.5≤krr≤1时,统一性能函数的最优值为3.915。根据有约束优化数学模型(14),1≤krr≤2时统一性能函数的最优值为全局最优解。比较表7、8,可以看出,1≤krr≤2时性能指标的最优值优于0.5≤krr≤1时各性能指标的最优值,其中,运动精度性能指标增加约0.7%,刚度性能指标减少约4.0%。

　　7　结　论

　　针对大型光学望远镜中基于Gough-Stewart平台机构的精调机构进行了优化设计,分析、计算方法和结果等总结如下:

　　(1)提出精调机构优化设计的运动精度准则和刚度准则,给出评价机构性能的2个全条件性指标。

　　(2)以无量纲化的线性尺寸参数作为设计变量,把参数空间从无限多维转换为有限维,在有限定的全局范围内优选机构尺寸。

　　(3)采用普适工作空间替代可达工作空间,使同一性能指标在该空间内具有可比性。

　　(4)在优化模型的约束条件中,以目标函数的最优解加(减)裕量得到阈值,保证了在优化的全过程中,各目标函数的取值与最优值的偏差都控制在由阈值确定的精度范围之内。

　　(5)动定平台的半径比krr的定义域由(0,1]扩大为(0,∞)。优化结果表明,当krr∈[1,∞),机构的性能最优。

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　　作者简介:徐　刚(1976-),男,辽宁人,博士研究生,主要从事光学望远镜副镜微调机构、并联机器人技术等方面的研究。E-mail: graduate_xg@yahoo.com.cn

　　杨世模(1954-),男,江苏人,博士生导师,研究员,主要从事空间天文仪器总体结构等方面的研究。E-mail:ysm@bao.ac.cn