利用谐振原理进行单频点检测及频谱分析

对信号进行频谱分析时，快速傅里叶变换(FFT)是最为常用的方法。但FFT存在一些难以克服的问题，限制了他的应用。在进行FFT的实际运算时，只能对时域信号进行有限长度的截取，这将引起“泄露”现象^［1］，FFT还存在着频域分辨率和时间分辨率的矛盾，方差性能也较差^［2］。
　　谐振器件的重复性、分辨率和稳定性非常优良，因此利用谐振原理并用数字方式进行单频点检测及频谱分析，就可以不受敏感元件材料的限制，设计出性能优异的单频点检测及频谱分析系统。

1　基本原理
　　谐振原理可以由谐振子的振动特性来说明。谐振子在工作的过程中，可以等效为一个单自由度的系统，如图1所示，其动力学方程为：
　　
其中：m为振动系统的等效质量(kg)；
c为振动系统的等效阻尼系数(Ns/m)；
k为振动系统的等效刚度(N/m)；

阻尼比系数或阻尼率。当ξ<<1时系统处于弱阻尼状态，系统响应为：

　　瞬态响应是一个阻尼振荡，振幅和初相位取决于初始条件，振幅按衰减；稳态响应是一个简谐振动，其频率等于F的频率。F₀/k是系统在静负荷F₀作用下产生的变形，称为“静变位”，而系统外力作用下产生的等幅振荡实质上是一种“动态变位”。H(ω)＝B/(F₀/k)称为动力放大因子。
　　当λ ≪1 时，H(ω)1，说明当激励频率远远小于系统固有频率时，系统振幅也近似等于静变位。当λ >> 1，H(ω)→0，这是因为F频率非常高，系统由于惯性而来不及随之振动。当λ1时，B急剧增大，发生共振。

2　系统的设计和实现
　　系统设计的关键在于：
　　(1)如何根据要求计算谐振子的参数m，c和k。　　
　　(2)设计好谐振子参数后，如何实现其关于具体输入信号的响应。
2．1　谐振子设计公式的推导
　　若给定谐振子的谐振频率ω_r和谐振时系统的幅度放大倍数H_m，需要得到其等效质量m、等效阻尼系数c和等效刚度k。工程上将谐振子的幅度增益达到最大时的工作 状态定义为谐振状态，谐振频率可以描述为：
　　
　　为了方便计算和理解，可以令k＝1(N/m)，这时系统的“静变位”等于外力的幅值F₀，H_m即为系统谐振时谐振子对于作用外力F(t)的振幅放大倍数。解此方程组即可以得到式(6)：

　　在式(6)中，c还可以表示为：

2．2　系统的实现
　　系统实现的方法主要有：
　　(1)欧拉法及其改进。
　　(2)线性加速度法。
　　(3)纽马克－ β 法。
　　(4)威尔逊－ θ法 ^［3］。
　　根据后面的实验，威尔逊－ θ法 效果最好，所以具体讨论威尔逊－ θ法 。
　　威尔逊－ θ法 实际上是线性加速度法的一种变形，他是假设从t时刻到t＋θΔt时刻加速度是线性变化的，由此可以得到以下方程组：

　　用不同的解法进行求解，可以得到不同的公式，这里选用比较流行的一组公式：

　　为了降低计算量，还可以将此公式进一步简化为：

　　其中，a_1～4，b_1～4和c_1～4都是与k，m，c，Δt，θ相关的常数，由于他们和k，m，c，Δt，θ的关系过于复杂，这里不再给出。

3　仿真和实验
　　为了验证设计公式的正确性，用VC^＋＋和Matlab 6混合编程方式编写了一个谐振子仿真程序，该程序由3部分组成：
　　(1)仿真主界面。
　　(2)输入信号设置界面。
　　(3)系统参数设计计算界面。
　　他的主要功能也相应地分为3个部分：
　　(1)谐振子的运动仿真(可以选择使用不同的仿真算法，包括前面提到的4种算法)。
　　(2)设定输入信号F(t)的各个频率分量及其大小(输入信号由1～7个任意频率的正弦信号组成)。
　　(3)谐振子参数的计算。
　　使用此程序可以进行单个频率点检测的实验，其主界面如图2所示。

　　首先使用式(6)设计了一个谐振频率为100 Hz，H_m83为10的谐振子，其参数为：m＝2．52 kg，c＝0．000 158 Ns/m，k＝1 N/m。其幅频和相频响应曲线如图3所示。

　　实验先验证各个仿真算法的稳定性。对于威尔逊-θ法，取θ＝1．40，输入信号频率为100 Hz，当采样频率改变时的实验结果如表1所示。

　　从实验结果可以看出，只要采样频率是输入信号频率的3倍以上，威尔逊－ θ法 都是稳定的。其他几个方法也做了同样的实验，结果都不是很稳定。当采样频率是输入信号频率的50倍以上时，H_m的仿真效果十分接近设计值，这也验证了设计公式的正确性。所以，以下的实验都采用威尔逊－ θ法 。
　　取θ＝1．40，采样频率为2 000 Hz，则输入信号频率改变时的实验结果如表2所示。

　　从实验结果可以看出，当输入信号在谐振频率附近改变的时候，谐振的现象很明显。
　　取输入信号频率为100 Hz，采样频率为2 000 Hz，当θ改变时，威尔逊－ θ法 的实验结果如表3所示。从这个实验可以看出，当θ＜1．37时，虽然H_m的仿真值更接近设计值，但是系统有点不太稳定。当θ＞1．42以上时，H_m的仿真值与设计值偏差变大，所以合理的θ值应选取在1．37与1．40之间。

　　如果将实际信号直接作用于该仿真系统，选取合适的谐振子参数，即可以实现单频点检测。若要进行频谱分析，只需根据频率分辨率的要求在不同的频率点设计出多个谐振子，将输入信号并行作用于各个谐振子即可，各个谐振子的工作情况与上述单个谐振子的工作情况相同。

4　结语
　　由以上的实验和分析可以看出，使用谐振原理进行单频点检测及频谱分析是可行的，本文推导的谐振子参数设计公式也是正确的。在仿真方法中，威尔逊－ θ法 是一个十分出色的算法，只要θ＞1．37、采样频率是输入信号频率的3倍以上即可确保仿真是稳定的。
　　由于这种方法不存在对输入信号的截取，所以在进行频谱分析时不必担心FFT方法中出现的泄露现象，只要选取合适的谐振子参数和采样频率，通过谐振子的振幅就可以很好地反映出输入信号在该频点附近的频谱分量。只是用此方法进行频谱分析时，计算量有点大。如果输入信号长度为N，谐振子个数为M，并使用简化后的迭代公式，需要12×M×N次浮点乘法运算，但是考虑到低频率的谐振子可以采用更低的采样率，所以可以适当地降低运算量。