基于压缩感知的测量矩阵研究

摘  要： 压缩感知打破了传统采样定理的限制，提供了一种从少量的非自适应线性测量值中就能恢复原始信号的方法。测量矩阵正是获取这些测量值的关键所在，寻求结构简单、性能稳定的测量矩阵一直是研究人员的目标。在介绍压缩感知测量矩阵的基础上，提出了广义轮换矩阵的改进方法，结合正交基线性表示的思想，利用广义轮换构造的正交矩阵来生成新的测量矩阵。通过仿真实验，证明了新的测量矩阵具有较好的性能。
关键词： 压缩感知；稀疏信号；测量矩阵；广义轮换矩阵；正交基

    2004年，Donoho D[1]和Candès E[2]等人在泛函分析和逼近论的基础上，结合信号稀疏表示理论提出了一个全新的信号采样理论，即压缩感知CS(Compressed Sensing)[1-2]。与传统的Nyquist采样定律不同，压缩感知同时完成了对信号的采样和压缩，在信号的采样阶段就很好地避免了大量冗余数据的产生。压缩感知一经提出，就引起人们的广泛关注，在信息技术飞速发展的今天，有着广阔的发展前景。在压缩感知理论中，信号的采样速率不再取决于信号的带宽，而是取决于信号本身的结构和特性(称为稀疏性，或可压缩性)。其核心思想是：当信号具有稀疏性或可压缩性时，就可以通过一个非自适应的线性测量过程将原信号映射到低维空间，得到少量的测量值，然后通过求解一个稀疏最优化问题就可以恢复原始信号。
    总地来说，压缩感知过程包括3个主要问题：信号的稀疏表示、信号的线性测量和信号的重建。本文主要研究信号的线性测量，并介绍压缩感知测量矩阵。
 

    (1)随机测量矩阵：如高斯矩阵[1，4]、贝努利矩阵[4]等。随机矩阵可以用较少的采样值获得精确的重建，但是随机测量矩阵自身存在的不确定性会给矩阵存储和硬件实现带来困难，也会造成仿真实验的不确定性。
    (2)确定性测量矩阵：如多项式测量矩阵[5]等。相比随机测量矩阵，确定性测量矩阵可以节省存储空间，易于硬件实现，也更易于设计快速算法，但是其重建效果较差，精确重建需要的测量值较多。
    (3)部分随机测量矩阵：如部分正交矩阵[6]、部分哈达玛矩阵[4]、托普利兹和轮换矩阵[7]等。部分随机矩阵既有部分的随机性，又兼具一定的确定性，性能较好，硬件实现也相对容易。


3 仿真实验和结果
    为了验证构造的新测量矩阵的性能，采用Matlab图像库中提供的标准256×256 Lena图像进行仿真实验。首先利用小波变换对原图像进行稀疏化处理，然后分别选用新矩阵、部分哈达玛、托普利兹、广义轮换、部分正交等测量矩阵对稀疏化后的图像进行测量，最后采用OMP[10]重建算法对压缩后的图像信号进行恢复，得到恢复图像。针对压缩比M/N≤0.5的情况，得到图1所示的峰值信噪比(PSNR)性能比较图。

    由实验结果可以看出，广义轮换矩阵的性能要优于其他测量矩阵，而因为新的测量矩阵是由广义轮换矩阵改进了向量原子后得到的，所以针对不同的压缩比，新矩阵的性能变化曲线与广义轮换矩阵相似，但整体性能要比广义轮换矩阵高出3 dB左右。在压缩比较小时，新矩阵相比于其他测量矩阵具有更突出的优势，验证了确定数+高斯随机数的伪随机数更适合这种压缩比较小的情况。整体而言，对于压缩比M/N≤0.5的情况，新的测量矩阵在和其他部分测量矩阵的对比中表现出了更好的性能。
    图2给出了256×256 Lena图像的原始图像和利用新的测量矩阵测量后恢复的图像，此处选择压缩比M/N=0.5，此时的峰值信噪比PSNR达到了30.28。

    本文旨在研究压缩感知中的测量矩阵，改进了广义轮换矩阵的向量原子，结合正交基线性表示的构造方法，提出用确定数+随机数的伪随机数作为正交基系数，构造了新的测量矩阵——基于正交基线性表示的二进制生成矩阵。首先，改进广义轮换矩阵向量原子，采用二进制1和0交替的向量原子，矩阵更稀疏，硬件实现更简单；然后，结合正交基线性表示的思想，将广义轮换构造的正交矩阵作为正交基，针对M/N≤0.5的情况，提出采用确定数+随机数组合的伪随机数作为线性系数，构造出新的测量矩阵。选择二维图像数据进行仿真实验，应用不同测量矩阵进行对比，实验结果显示新的测量矩阵拥有更好的性能。
参考文献
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