大学学数学的疑惑

最近对学数学产生了疑惑，想从各位过来人口中得到一个答案：作为一个电子工程师，有必要真正的把数学学好吗?
   从小学到高中，自认为数学学得还可以，毕竟自己是真正的理解了。但是上了大学以来，虽然成绩考还行，但是我感到我根本没有真正的把数学学进去，就那高等数学来说吧，经常会冒出一个不认识的定理或公式，而你的任务就是--把它背起来，怎么来的不用管，反正考试有用。而很多的定理给人的感觉很牵强，总是几条定理之间互相在那里证明。而老师的任务似乎也就是把学生忽悠过去。现在学数学物理方法就更加感到迷茫。半学期下来，我压根就没理解到底什么是复变函数，什么是虚空间，只会套个公式解个题。很多概念看这就头大，比如可导，间断点，收敛，等一些乱七八糟的东西。
   在这里我并非说数学是无用的，数学是有用的，但是人的精力是有限的，能力也是有限的（天才除外）。有些数学教授一辈子跟数学打交道，我甚至有些怀疑他们就真的懂进去了吗?曾经有位很有水平的物理教授在课堂上告诉我们：有个数学教授兴冲冲拿着一个公式告诉说他发现了一个公式，然后想请教物理教授那公式在物理上的意义是什么，物理教授自然不知道了。
   在这里我想求教各位已在电子工程师岗位上的大哥大姐，也就算各位对小辈们的关照吧。
大学里面有必要深入弄懂数学吗?那些高深东西在工作上有用武之地吗?如果真的重要的话，我想我应该静下心好好的仔细的投入大量时间去学一下（不求甚解，但求理解）。如果作为电子工程师的要求只是拿过来公式，懂得会用的话。那我想就没必要浪费时间了，毕竟还有一大堆东西等着去做。
   若有在数学上自认为学得不错的朋友，恳求牺牲一下宝贵的时间。分享一下经验。在这里先谢过了

我只是后悔数学没有学好，如果再有一次读大学，我一定会学好它的

建议从幼儿园学起，但是你一样会这样的。中国的教育或你自己的问题吧。

如果生命可以重新，我觉得可以接受啊

数学绝对要学好：）

当然很重要，对想做技术的而言！

我只是后悔数学没有学好，如果再有一次读大学，我一定会学好它的

数学还是有用啊，多学点没错

数学乃工科之本！

谢谢大家，看来是我太急功进利了，我想我知道应该怎么做了，特别感谢liuzhenyu73将自己的经验于大家分享

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对数学的思考
最近因为工作关系，看了一些数学书。
我以TAMU的两位教授所著的一本小书为例发表一些浅见。
该书名为A First Course in Wavelets with Fourier Analysis.
一 背景
傅立叶分析是所有理工科学生都多少知道一点的，傅立叶分析的主要内容有
傅立叶级数；傅立叶变换等。傅立叶级数是所有学过工科高等数学课程的学生都知道的。
而作为电子工程系的学生，对傅立叶分析的掌握程度基本决定了他的信号处理的水平。
傅立叶分析是调和分析的一个总要分支。最早的三角级数展开是由于解偏微分方程的需要
，在18世纪由法国的工程师兼学者Fourier在其名著 热的解析理论 中予以详细讨论的。实
际上，三角级数展开不仅在实用中有重大意义，而且对于现代数学的发展，都深具影响。
实变函数论的开创者Lebesgue（1875年生）最早就是通过研究三角级数从而提出明晰的测
度概念并将黎曼积分扩充为Lebesgue积分，从而大大扩充可积函数的范围的。
三角级数还是产生很多病态函数的温床。
比如1872年，魏尔斯特拉斯就利用三角级数构造出f(x)=sigma[b^n * cos(a^n*pi*x)]（对
n＝0，1，。求和）。
此函数就是一个处处连续但处处不可导的函数。
而正是对病态函数的研究促成了数学分析的革命。
二 对“分析”的分析
目前国内工科学生学习的数学主要有：
高等数学（主要是18世纪前的一些数学分析的内容，包括一些解析几何）
线性代数
概率统计
复变函数
积分变换
后四门课的名字很明确，基本反映了内容。
但是高等数学这个名字就显得非常含混，究竟什么叫高等数学呢?
实际上正如我前面所说，主要包含一些分析的老的内容。
我现在要问的是，为什么数学分析叫做数学分析?这个问题若搞清楚，就可以从本质上把
握数学分析的体系，而不是在那里被动的被胡涂先生带着做模仿动作了（学数学决不是模
仿！而是要有高屋建瓴的把握）。
我沿着西方的分析思想，对“分析”二字结合数学分析的内容做一个分析。
如果有人复习数学的话，我下面的一段话对他肯定会大有用处，能否消受，要看自己的造
化了。
分析的英文原文是：analysis
MW字典对其原意的解释是，
separation of a whole into its component parts.
汉语的分析，我们要分析成两个字，第一个字是分，第二个字是析。
据金山词霸。
分的本意是：(会意。从八,从刀。“八”就是分;从“刀”,是以刀剖物,使之分开的意思。
本义:一分为二)
析的本意是：(会意。从木,从斤。用斧子劈开木头。本义:劈,劈木头)
这两个字都是会意字
所以analysis汉语翻译做“分析”是恰当的。
当然分析一词还有引申义， “将事物、现象、概念分门别类,离析出本质及其内在联系”
有了以上的认识，我们可以来探讨数学分析的主要任务了。（正是这些任务使得数学分析
成为一个整体，而不是分立概念的罗列）
从集合，映射的观点来看（这些都是19世纪，20世纪的一些观念）
数学分析的主要对象是定义域，值域均是实数集合子集的映射(这种映射基本就是所谓实变
函数的范围，实变函数是一种特殊的函数，而函数是数集间的映射），所以换句话数学分
析的对象是函数，数学分析也可以叫做函数分析。
对于函数的分析，可以有引申意义上的分析，也可以有本意上的分析。大家多侧重于对引
申意义的分析，对本意反倒忽略了。下面的一些分析都是我们所熟知的引申意义上的分析
。
比如研究了四种特殊的函数性质
1 周期性 2 奇偶性 3 有界性 4 单调性。
这四种特性都是几何上非常直观的。（在数学分析发展的早期，直观是指引人前进的很好
工具）
注意到，在中学利用初等的工具研究了六种初等函数（常数，幂，指，对，三角，反三角
）的某些简单性质（注意简单二字，初等函数的许多性质用初等方法研究需要相当的技巧
，或者说没有一般的规律可循，据说阿基米德在求球体的体积的时候，就求过几个特殊的
简单积分，但是他当时当然没有微积分的明确概念，可见利用初等数学的工具解决复杂的
难题需要专家的技巧，而数学家的任务是寻求一类问题的规律，或者说是寻求求解过程的
公式化和机械化）。
实际上，对大多数函数，用初等数学的方法分析，都很难得出深刻的结论。大家可能记得
在高中为了求出一个函数的极值需要多大的技巧。
人类得到比较明晰的极限的概念，花掉了大约2000年的时间，到了牛顿和莱布尼茨的时代
，才有了比较明确（但是离严密还差的很远）的极限概念。正是极限的概念刷新了分析数
学的历史，自从极限的概念被确立后，微积分的概念才有了比较合理的基础，这为函数的
分析（数学分析的内容）提供了有力的工具。
有了极限的工具，就可以研究函数在局部和无穷远处的发展趋势，这就是从动态的角度研
究函数了。我们知道求极值是对函数分析的重要内容。显然，了解函数值的变化趋势，对
求函数的极值肯定是有好处的。有了极限的概念，就可以刻划函数的发展趋势。实际上刻
划像相对原像变化率的一个很有用的工具就是一个特殊的极限－－导数。有了导数，当然
可以继续研究高阶导数。
在有了导数以后，为了沟通函数与其各阶导数的性质，就有了中值定理。（我现在还有疑
问，中值定理的出现是否是一种必要性的推动，还是纯理性思考的产物），这些中值定理
主要是由法，德两国人创立。
我们可以看看中值定理提出者德生卒年，这样可以给我们重要的启示。（依照逻辑顺序排
列）
1 费马定理 Fermat 1601-1665
2 罗尔定理 Rolle 1652-1719（标准教科书证明利用了费马定理）
3 拉各朗日 1736-1813（证明利用了罗尔定理）
4 柯西 1789－1857（证明利用了拉各朗日 定理）
5 落笔大 1661－1704（证明利用了柯西定理）
6 泰勒 1685－1731（证明利用了柯西定理）
现在我们能够看到明确的问题了！
1 从罗尔定理到拉各朗日几乎用了50年以上的时间（由于缺乏详细的史料，我们自能根据
生卒年大致分析），从拉各朗日到柯西也大概用了50年时间。
启发：我们往往惊叹于数学教材的严密和体系宏伟，但是事实证明，就是这几个中值定理
，就花了人类100年的时间（请考虑世界上研究数学的人的数目），我们所看到的逻辑严谨
，周密都不过是对历史整理后的假相。当然时代进化到21世纪，我们不能用18世纪的速度
要求人类和自己）。
2 落笔大，泰勒出生都比柯西早100年，何以他们提出的中值定理的证明却利用了未出生的
人的定理呢?
对这个问题，我们可以肯定的是：泰勒的原始证明，落笔大的原始论证都没有用到柯西定
理！而现在我们所看到的证明是数学史家在对历史进行梳理后的产物！泰勒，落笔大所
用的概念肯定比柯西原始，可能还非常不严密。
这两点对我们的总的启示是，
即使是世界上第一流的头脑，也难以在短时间内创造非常严密的系统的理论。我们中国的
教材在物理，化学上提及了历史但是在数学上却忽略了。
当年我在学习数学分析的时候就非常自卑，为什么别人能够创造这样美妙的体系，而我们
就不行。现在终于明白了。
第二点，数学的发展史使我倾向于直觉主义的数学哲学，也就是原始的数学思想，来源于
人的直觉，尽管这些直觉在天才的脑子里面往往是粗糙的，正如钻石不经打磨不能耀眼一
样。我们应该知道（却没有被老师告知和教材教知）牛顿的原始的微积分概念是非常含混
的和没有稳固基础的。牛顿对无穷小和无限本身就不够清晰（考虑到他是几百年前的大哥
，饶了他），贝克莱大主教攻击牛顿的无穷小概念在哲学上站不住脚，马克思也抱怨牛顿
对高阶无穷小的无端忽略是“暴力镇压”。我们所熟知的yipusilon－delta法则是柯西在
牛顿身后几百年才提出的，而对实数集合连续性的讨论是由魏而斯特拉是，cantor等人完
善的，没有上述理论，牛顿的理论是非常不严密的。我们看到的数学大厦曾经经历了多少
次的危机。甚至到今日，数学的基础仍存在严重的危机！
三 在数学教材中，除了摆事实（用公里化的方法把文章做得花团锦簇一般）自能使学生成
为可怜虫，在事后诸葛亮们得整理下，本来令人佩服得天才成了高不可攀的神袛。严重打
击学生的兴趣和自信。而对历史发展进程的整理也歪曲了数学发展的真相，使得历史发展
的进程被抹煞，本来自然的，可以理解的idea的发展成为高不可攀的绝妙证明。学生成为
一个袖手旁观者，而不是一个数学发展的见证人和参与者。而我们中国需要的更多的就是
这种开拓性人才！
有了微分，按照惯例，就应该考虑其逆运算。这就是所谓不定积分。这是容易理解的。对
初等函数的研究也是顺理成章的。
许多学生不都把定积分和不定积分混为一谈，认为定积分不过是对不定积分的求值。但是
如果概念清晰的话。
不定积分应该是微分的逆算子。这是逻辑上的必然延续。
但是定积分（严格说是黎曼积分）可以认为是部分和的极限，这种积分可以认为是从几何
直观上求解实际问题时得出的。这样看来，利用部分和极限求级数的和就本来不是一种技
巧，而是当然了）。
我们知道，黎曼积分对可积函数的要求是比较苛刻的，由于在历史上，先研究的函数都是
一些比较漂亮的函数，所以在当时，并没有问题。但是乐贝格出世后，却在逆反心理的引
导下，研究那些性质不那样漂亮的函数（比如狄里赫莱函数，还有上面提到的维尔斯特拉
斯提出的病态函数。）这样就使得测度的概念进一步明晰。对区间长度的衡量由一个原始
的概念过渡到（进化到）集合测度的概念。（cantor的集合论研究大概和乐贝格相距不远
）
这就是积分的概念。
在积分概念后，数学分析研究了级数。（实际上由于数列是一种特殊形式的函数，定义域
为散点，级数可以认为是积分概念的离散形式）。
对级数的研究分为常项级数和函数级数。其中非常总要的就是三角级数。
实际上在这里，我们可以在分析的本源意义上了解为什么分析叫分析。
回到MW字典的定义：
separation of a whole into its component parts.
我们可以在原意上理解这句话。
数学分析的对象是函数。我们把上述定义中的a whole换做函数function看看。
separation of a function into its component parts.
事情清楚了，数学分析在本源意义上的理解就是对函数进行分解，分解成需要的部件。
我们研究了幂级数，就是将函数展开成多项式的形式的函数分量（或部件）的和。比如泰
勒级数，从中值定理就很自然得出。这在计算数学上也是有意义的。因为幂级数大多收敛
很快，而且易于用算法描述。
研究了幂级数后，又研究了三角级数展开，这次也是没头没脑，为什么要展开呢。傅立叶
的热学分析表明这样展开是有益的。我们可以看到三角级数的展开出奇的简洁，就像神话
一样！难道这些家伙就这么聪明?他们怎么晓得这么搞?（同样是历史的歪曲令人费
解，傅立叶之制造三角级数是从研究偏微分方程起步的，在那种特殊的背景下，相对还是
比较自然的）。
其实数学分析的主要内容就是这些（微分方程是另外一门单独学问），多重积分实际上只
是上述基本想法的自然衍生而已，大多数问题二流数学家足以完成。
我们现在知道数学分析是对初等数学的一次抽象，现在要问的就是对数学分析的再次抽象
的结果如何，这就要求我们把数学分析中的对象仍看作特例，去寻求更一般的规律。
以傅立叶级数为例。如果把三角级数展开看作特例，我们可以抽出三角级数展开的关键性
质－－正交性。在这种宏观视角下，我们可以把函数看成集合或空间中的点，而把级数的
正交标准基函数看作直角坐标。从而把函数的三角展开看成是对点在正交系中求坐标。（
傅立叶系数就是坐标）
这样函数本身就成为了一个点，可以与复平面的向量类比（我们在这里又要感谢法国的天
才笛卡儿）他天才的将坐标系设计成正交的。为什么呢?）我们现在可以回答这个问题，
为什么直角坐标系是直角的，或者说是正交的分解。
在内积空间中可以很容易的看出这个问题。正交系相对于一般的基而言使用起来是无比的
方便。
我们看出正是从数学分析中的特殊概念进行进一步抽象，我们得到了更好的理解，由天才
构做的特例中导出一般的概念，是另一类数学家（称之为整理家）的重要工作。
在20世纪，法国的数学继续称雄全球，其中的布尔坝基学派就是能够从抽象的角度整体思
考数学的一群年轻数学家。我们容易发现，法兰西民族的优秀的抽象能力和总多的天才人
物为数学的发展做出了巨大的贡献。这一贡献，除了德国和欧陆的其他几个国家能够比拟
以外，连英国都不能够比拟。
我们说，第一流的数学家是那些能够提出原始概念，开创新的思路的科学家。
比如
欧氏几何之于欧几里的；
微积分之于牛，莱；
解析几何之于笛卡儿；
拓扑学之于庞卡来；
泛函分析之于乐贝格，banach。
cantor之于集合论。
群论之于伽罗华（真正的天才！同样是伟大的法兰西人）。
同样那些具有非凡直觉的数学家也是第一流的
比如高斯，黎曼（猜想）等。
很遗憾的，我们中国的本土数学家大概都是在西方人创造的数学空间中去工作。
有些人能解决西方人出的题目，但是很少有人能开创新的局面。
陈省身先生希望21世纪中国能够成为能与西方诸重要国家平等对话的数学大国。
在我们国内的普遍教育模式下，我认为这个希望在本世纪上半叶实现还是有困难。我们现
在的这种教材是培养中才使用的，而对于培养上才则不合理。
不仅内容陈旧（现在在研究生层次开设泛函分析课作为对微积分的延续，但是鲜有老师能
够讲的精彩，学生能够真正领会实质的），而且教育方法严重失败。教材成了定理的罗列
。而对定理的逻辑关系，来龙去脉，根本不提，完全是从应用的角度去教学，根本没有指
望学生能够参与数学发展的进程
实际上，现在日本的数学比中国要好。日本数学家里面得大奖的很不少。
（不过日本人现在也没有出现能开创新学科的人）
这种局面反映在计算机科学领域也是这样。对操作系统的研发是由西方人作。对高级语言
的定义中国人无缘置喙。中国人忙于学习用别人定义的高级语言和提供的编译器，开发工
具，在别人的操作系统和开发平台上做应用级为主的开发。（即使现在所谓的龙心，汉芯
都出世了，但是我们大家都知道这不过是一些海龟从他们的国外老师的实验室里面clone过
来的，在概念上并无重大突破）。
在信号处理领域，我们中国人做信号处理也有几十年了。就没有一个人能够在看出傅立叶
分析不足的前提下，做出小波分析的雏形。而在不同领域西方人在20世纪提出大约17种不
同的小波雏形。
如果继续延续这种状况，我可以肯定的说，这个民族没有希望！
创新不是空喊，创新需要环境。
培养具有创新精神的大学生，我们需要有好的教授和教材。我们需要有具有挑战性的问题
。我们需要摆脱针对就业压力而学的所谓实用技术（糊口技术）（起码针对部分学生应该
如此）或埋头做考研的准备。
我们需要一流教授讲基础课，我们需要给一流研究者提供衣食无忧的条件，让他们的头脑
去考虑一些有价值的问题，不要让奔驰车拉大白菜了！
Appendix.
1。《随机过程论》（钱敏平，龚光鲁）
此书晦涩难懂，错误之处甚多。让人对随机过程这门如此有用，思想
如此深刻的学科理解为一堆测度论，泛函，乱七八糟东西的堆砌。
没有突出该突出的东西，可能出发点是好的，不过我没有学到多少本质
上有用的东西。可能他们自己看起来是高屋建瓴，可惜学的人是不得要领。
2。《应用随机过程》（同上）
此书号称不用测度论，还有“应用”二字，一样垃圾。
对应的极品好书是Ross的"Stochastic Process"。
国内的概率统计教材除了严加安的测渡论, 王寿仁的概率论和随机过程,
其他的真是越看越垃圾. 国外的这方面优秀教材非常好.
总体来说我对国内的应用概率论的教材是很悲伤的。大多是给
工科学生和经济学等专业的初等概率和统计的书，千篇一律，
和高中的高考辅导教材一样滥竽充数。而那些高深的专业分支
领域的书写的极其难懂。
真正有思想有特色的书基本没有，北大王仁官的初等概率论教材
最多最多差强人意，另外值得一提的是何声武的一本大专自学教材，
倒是写的有些滋味。不过，和Ross的书比起来，还是惨不忍睹。
当然，这里面有学科原因。概率统计的内容极其广泛，学生的
背景更是各不相同，针对特定群体写好教材或者讲好课都是很困难的。

我覺得很重要
在分析
跟架構新線路的時候
尤其以analog的時候
要去推測他的行為 這時候數學就真的很重要了

本人学通信，也知道数学的重要性，但是学好它很难。
大学课程那么多，根本不能面面顾及，就拿模数电来说吧，要想学好有一大堆的书等着你。真正有哪些同学能说精通什么，至少我们班我看不出。又有一说法是：大学要注重实践。很多情况下时间分配是矛盾。那么，到底实践与理论熟轻熟重呢?
  下面是一张数学图，显然是学不完的。

数学

我觉得如果不做深入的信号分析的话。学好了本科的数学课程是够用了的。

谢谢各位的热心，本人真的很感动 ，最近也在网上也看了很多关于数学的评论，也找了相关资料。使我觉的教材真的是太重要了，很多教材的原因也对导致学生对数学的逐渐厌感。如果对数学资料有需要的朋友，可到一下FTP，里面真的有太多的资料了。
ftp://202.38.70.51/

V.I.Arnold: 论数学教育
数学是物理的一部分。物理学是一门实验科学，它是自然科学的一部分。而数学是物理学中只需要花费较少的代价进行实验的那一部分。例如 Jacobi 恒等式（保证三角形三条高交于一点）就是一个实验事实，正如同地球是圆的（即同胚于球体）这样的事实一样。但是发现前者却要比发现后者需要较少的代价。 在20世纪中叶，人们试图严格地区分物理与数学。其造成地后果是灾难性的。整整一代的数学家在对他们所从事的科学的另一半及其无知的情况下成长，当然，对其他的科学就更无知了。这些人又开始把他们的丑陋的学院式的伪数学教给他们的学生，接着这些丑陋的伪数学又被交给中小学校里的孩子们（他们完全忘记了Hardy的警告：丑陋的数学在阳光下不可能总有藏身之处）。 既然那些从物理学中人为挖出来的学院式的数学既无益于教学，又对其他的科学毫无用处，结果可以想见，全世界的人都讨厌数学家（甚至包括那些被他们教出来的可怜的学校里的孩子们以及那些运用这些丑陋数学的人）。这些先天不足的数学家被他们所患的低能症候群折腾的筋疲力尽，他们无能对物理学有个起码的了解。令人们记忆犹新的由他们建造的一个丑陋建筑物就是“奇数的严格公理化理论”。 很显然，完全可能创造这样一种理论，使得幼稚的小学生们敬畏它的完美及其内部构造的和谐（例如，这种理论定义了奇数个项的和以及任意个因子的乘积）。从这种偏执狭隘的观点来看，偶数或者被认为是一类“异端”，或者随着时间流逝，被用来作为该理论中几个“理想”对象的补充（为了遵从物理与真实世界的需要）。很不幸的是，这种理论只是数学中一个丑陋而变态的构造，但却统治了我们的数学教育数十年。它首先源自于法国，这股歪风很快传播到对数学基础的教学里，先是毒害大学生，接着中小学生也难免此灾（而灾区最先是法国，接着是其他国家，包括俄罗斯）。如果你问一个法国的小学生： “2＋3等于几?”，他（她）会这样回答：“等于3＋2，因为加法运算是可交换的”。他（她）根本不知道这个和等于几，甚至根本不能理解你在问他（她）什么！ 还有的法国小学生会这样定义数学（至少我认为很有可能）：“存在一个正方形，但却还没有被证明”。 据我在法国教学的经验，大学里的学生对数学的认识与这些小学生也差不多（甚至包括那些在\'高等师范学校\'（ENS）里学习数学的学生－－我为这些显然很聪明但却被毒害颇深的孩子们感到极度的惋惜）。 例如，这些学生从未见过一个抛物面，而且一个这样的问题：描述由方程xy=z^2所给出的曲面的形状，就能使那些在ENS中研究的数学家们发呆半天；而如下问题：画出平面上由参数方程（例如x = t^3 - 3t, y = t^4 - 2t^2）给出的曲线，对学生来说是不可能完成的（甚至对大多数法国的数学教授也一样）。从微积分的入门教科书直到Goursat写的课本，解这些问题的能力都被认为是每个数学家应具备的基本技能。 那些喜欢挑战大脑的所谓“抽象数学”的狂热者们，把所有在数学中能与物理和现实经常发生联系的几何统统排除在教学之外。由Goursat, Hermite, Picard等人写的微积分教程被认为是有害的，最近差点被巴黎第6和第7大学的图书馆当垃圾丢掉，只是在我的干预下才得以保存。 ENS的听完所有微分几何与代数几何课程的学生（分别被不同的数学家教的），却既不熟悉由椭圆曲线 y^2 = x^3 + ax + b 决定的黎曼曲面，也不知道曲面的拓扑分类（更别提第一类椭圆积分和椭圆曲线的群性质了，即 Euler-Abel 加法定理）。他们仅仅学到了 Hodge 构造以及 Jacobi 簇！这样的现象竟然会在法国出现！这个国家可是为整个世界贡献了诸如 Lagrange ，Laplace, Cauchy 以及 Poincaré, Leray 还有 Thom 这些顶级的伟大人物啊！对我而言，一个合理的解释来自 I.G. Petrovskii, 他在1966年曾教导过我: 真正的数学家决不会拉帮结派，只有弱者为了生存才会加入帮派。他们可以联结很多的方面（可能会是超级的抽象，反犹太主义或者“应用的和工业上的”问题），但其本质总是为了解决社会生存问题。 我在此向大家顺便提一下 L. Pasteur 的忠告：从来没有也决不会有任何所谓的“应用科学”，而仅仅有的是科学的应用。 长久以来我一直对 Petrovskii 的话心存疑虑，但是现今我越来越肯定他说的一点没错。那些超级抽象活动的相当大的部分正在堕落到以工业化的模式无耻的掠夺那些发现者的成果，然后再加以系统地组织设计使自己成为万能的推广者。就彷佛美丽坚所在的新大陆不以哥伦布命名一样，数学结果也几乎从未以它们真正的发现者来命名。 为避免被认为我在胡说八道，我不得不在此声明我自己的一些成果由于莫名其妙的原因就被以上述方式无偿征用，其实这样的事情经常在我的老师（Kolmogorov, Petrovskii, Pontryagin, Rokhlin）和学生身上发生。 M. Berry 教授曾经提出过如下两个原理： Arnold 原理：如果某个理念中出现了某个人名，则这个人名必非发现此理念者的名字。 Berry 原理：Arnold 原理适用于自身。 不过，我们还是说回法国的数学教育上来。当我还是莫斯科大学数力系的一年级新生时，集合论的拓扑学家 L.A. Tumarkin 教我们微积分，他在课堂上很谨慎地一遍又一遍地讲述古老而经典的Goursat 版的法语微积分教程。他告诉我们有理函数沿着一条代数曲线的积分可以求出来如果该代数曲线对应的黎曼面时一个球面。而一般来说，如果该曲面的亏格更高这样的积分将不可求，不过对球面而言，只要在一个给定度数的曲线上有充分多的double points 就足够了（即要求该曲线是unicursal ：即可以将其实点在射影平面上一笔画出来）。 这些事实给我们造成多么深刻的印象啊（即使没有给出证明），它们给了我们非常优美而正确的现代数学的思想，比那些长篇累牍的Bourbaki学派的论著不知道好到哪里去了。说真的，我们在这里看到了那些表面上完全不同的事物之间存在着令人惊奇的联系：一方面，对于相应的黎曼面上的积分与拓扑存在着显式的表达式，而另一方面，在 double points 的个数与相应的黎曼面的亏格之间也有重要的联系。 这样的例子并不鲜见，作为数学中最迷人的性质之一，Jacobi曾指出：用同一个函数就既可以理解能表示为4个数平方和的整数的性质，又可以描述一个单摆的运动。这些不同种类的数学对象之间联系的发现，就好比在物理学中电与磁之间联系的发现，也类同于地质学上对美洲大陆的东海岸与非洲大陆的西海岸之间相似性的发现。 这些发现对于教学所具有的令人激动的非凡意义是无法估量的。正是它们指引着我们去研究和发现宇宙中和谐而精彩的现象。 然而，数学教育的非几何化以及与物理学的分离却割断了这种联系。例如，不仅仅学习数学的学生而且绝大部分的代数几何学家都对以下提及的Jacobi 事实一无所知：一个第一类型的椭圆积分表示了相应的哈密顿系统中沿某个椭圆相曲线的运动所走的时间。 我们知道一个 hypocycloid 就如同多项式环中的理想一样是无穷无尽的。但是如果要把理想这个概念教给一个从未见过任何 hypocycloid 的学生，就好比把分数的加法教给一个从来没有把蛋糕或苹果等分切割过（至少在脑子里切过）的学生。毫无疑问孩子们将会倾向于同时分子加分子分母加分母。 从我的法国朋友那里我听说这种超级抽象的一般化正是他们国家的传统特色。如果说这可能是一个世袭的缺陷，我倒不会不赞成，不过我还是愿意强调那个从Poincaré 那儿借来的“蛋糕与苹果”的事实。 构造数学理论的方式与其它的自然科学并没有什么不同。首先，我们要考虑一些对象并对一些特殊的事例进行观察。接着我们试图要找到一些我们所观察到的结果在应用上的限制，即寻找那些防止我们不正确地把我们所观察的结果扩展到更广泛领域的反例。作为一个结果我们尽可能地明确提出那由经验得来的发现（如费马猜想和庞加莱猜想）。这之后将是检验我们的结论到底有多可靠的困难的阶段。 就这一点来说，数学界已经发展出了一套特别的技术。这种技术，当被运用于现实世界时，有时候很有用，但有时候也会导致自欺欺人。这样的技术被称为“建模”。当构造一个模型时，要进行如下的理想化：某些只能以一定概率或一定的精确性了解的事实，往往被认为是“绝对”正确的并被当作“公理”来接受。这种“绝对性”的意义恰恰是，在把所有我们可以借助这些事实得出的结论称为定理的过程中，我们允许自己依据形式逻辑的规则来运用这些“事实”。 显然在任何现实的日常生活中，我们的活动要完全依赖于这样的化减是不可能的。原因至少在于所研究的现象的参数决不可能被绝对准确的知晓，并且参数的微小变化（例如一个过程初始条件的微小改变）就会完全地改变结果。由于这个原因我们可以说任何长期的天气预报都是不可能的，无论我们把计算机造的有多高级或是记录初始条件地仪器有多灵敏，这永远也办不到。 与此完全一样的是，公理（那些我们不能完全确定的）的一个小小的改变虽是容许的，一般来说，由那些被接受的公理推出的定理却将导出完全不同的结论。推导的链（即所谓的“证明”）越长越复杂，最后得到的结论可靠性越低。复杂的模型几乎毫无用处（除了对那些无聊的专写论文的人）。 数学建模的技术对这种麻烦一无所知，并且还不断地吹嘘他们得到的模型，似乎它们真的就与现实世界吻合。事实上，从自然科学的观点看, 这种途径是显然不正确的，但却经常导致很多物理上有用的被称为“有不可思议的有效性的数学”结果（或叫做“Wigner 原理”）。 我在此再提一下盖尔方德先生的一句话：还有另一类现象与以上Wigner所指的物理中的数学具有相仿的不可思议的有效性，即生物学中用到的数学也是同样令人难以置信的有效。 对一个物理学家而言，“数学教育所致的不易察觉的毒害作用”（F.Klein 原话）恰恰体现在由现实世界抽离出的被绝对化了的模型，并且它与现实已不再相符。这儿是一个简单的例子：数学知识告诉我们 Malthus 方程 dx/dt = x 的解是由初始条件唯一决定的（也即相应的位于（t-x）－平面上积分曲线彼此不交）。这个数学模型的结论显得与现实世界毫不相关。而计算机模拟却显示所有这些积分曲线在t的负半轴上有公共点。事实上，具有初始条件 x(0) = 0 和 x(0) = 1的曲线在t=-100 相交，其实在t=-100 时，你压根就不可能在两条曲线之间再插入一个原子。欧式几何对这种空间在微小距离下的性质没有任何的描述。在这种情况下来应用唯一性定理显然已经超出了模型所能容许的精确程度。在对模型的实际运用中，这种情形必须要加以注意，否则可能会导致严重的麻烦。 我还想说的是，相同的唯一性定理也可解释为何在船只停泊码头前的靠岸阶段必须得依靠人工操作：否则的话，如果行进的速度是距离的光滑（线性）函数，则整个靠岸的过程将会耗费无穷长的时间。而另外可行的方法则是与码头相撞（当然船与码头之间要有非理想弹性物体以造成缓冲）。顺便说一下，我们必须非常重视这类问题，例如，登陆月球和火星以及空间站的对接－此时唯一性问题都会让我们头痛。 不幸的是，在现代数学的教科书里，即使是较好的一类课本里，对这种令人崇拜的定理所隐藏的危险的事例或探讨都只字没有。我甚至已经形成了这样的印象，那些学院派的数学家（对物理知识都一窍不通）都对公理化形式的数学与建模的主要差异习以为常，而且他们觉得在自然科学中这是很普遍的，只是需要用后期的实验来控制理论推演。 我想用不着去提什么初始公理的相对特征，人们也都不会忘记在冗长的论述里犯逻辑错误是在所难免的（彷佛宇宙射线或量子振动所引发的计算崩溃）。每一个还在工作的数学家都知道，如果不对自己有所控制（最好是用事例），那么在10页论述之后所有公式中的记号有半数都会出问题。与这样的谬误相抗的技术也同样存在于任何实验科学里，而且应该教给每一个大学低年级的学生。 试图创造所谓的纯粹推导式的公理化数学的做法，使得我们不再运用物理学中的研究方法（观察-建模－模型的研究－得出结论－用更多的观察检验模型）取而代之的是这样的方法：定义－定理－证明。人们根本不可能理解一个毫无动机的定义，但我们却无法阻止这些有罪的“代数－公理学家”。例如，他们总是想用长乘规则的手段来定义自然数的乘积。但用这种方法乘法的交换性却难以证明，不过从一堆的公理中仍有可能推导出这样的定理。而且完全可能逼着那些可怜的学生们来学习这个定理以及它的证明（其目的不外乎是提升这门学科以及教授它的人的社会地位）。显然，这种定义和这样的证明对教学和实际工作有百害而无一益。 理解乘法交换性的唯一可能的方式，打个比方就是分别按行序和列序来数一个方阵里士兵的人数，或者说用两种方式来计算长方形的面积。任何试图只做不与物理和现实世界打交道的数学都属于宗派主义和孤立主义，这必将损毁在所有敏感的人们眼中把数学创造视为一项有用的人类活动的美好印象。 我将再揭示几个这样的秘密（可怜的学生们对此很有兴趣）。 一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的（定向的）体积，这个多面体的每条边就对应矩阵的列。如果学生们得知了这个秘密（在纯粹的代数式的教育中，这个秘密被仔细地隐藏了起来），那么行列式的整个理论都将成为多线性形式理论的一部分。如果用别的方式来定义行列式，则任何敏感的人都将会永远恨死了诸如行列式，Jacobi式，以及隐函数定理这些鬼东西。 一个群又是什么呢?代数学家们会这样来教学：这是一个假设的集合，具有两种运算，它们满足一组容易让人忘记的公理。这个定义很容易激起一个自然的抗议：任何一个敏感的人为何会需要这一对运算?“哦，这种数学去死吧”－－这就是学生的反应（他很可能将来就成为了科学强人）。 如果我们的出发点不是群而是变换的概念（一个集合到自身的1－1映射），则我们绝对将得到不同的局面，这也才更像历史的发展。所有变换的集合被称为一个群，其中任何两个变换的复合仍在此集合内并且每个变换的逆变换也如此。 这就是定义的关键所在。那所谓的“公理”事实上不过是变换群所具有的显然的性质。公理化的倡导者所称的“抽象群”不过是在允许相差同构（保持运算的1－1映射）意义下的不同集合的变换群。正如 Cayley证明的，在这个世界上根本就没有“更抽象的”群。那么为什么那些代数学家仍要用抽象的定义来折磨这些饱受痛苦的学生们呢? 顺便提一句，在上世纪60年代我曾给莫斯科的中小学生们讲授群论。我回避了任何的公理，尽可能的让内容贴近物理，在半年内我就教给了他们关于一般的五次方程不可解性的 Abel 定理（以同样的方式，我还教给了小学生们复数，黎曼曲面，基本群以及代数函数的monodromy 群）。这门课程的内容后来由我的一个听众 V. Alekseev 组织出版了，名为The Abel theorem in problems. 曲面的分类定理应该被包含在高中数学的课程里（可以不用证明），但不知为什么就连大学数学的课程里也找不到（顺便一下，在法国近几十年来说有的几何课程都被禁止）。 在各个层次上，数学教育由学院的特征转回到表述自然科学的重要性的特征，对法国而言是一个及其热点的问题。使我感到很震惊的是那些最好的也是最重要的条理清晰的数学书，在这儿几乎都不为学生们所知（而依我看它们还没有被译成法语）。这些书中有Rademacher 和Tö写的《Numbers and figures》；Hilbert和Cohn-Vossen写的《plitz,Geometry and the imagination》；Courant和Robbins写的《What is mathematics?》； Polya写的《How to solve it》和《Mathematics and plausible reasoning 》； F. Klein 写的《Development of mathematics in the 19th century 》。 我清晰地记得在学校时，Hermite 写的微积分教程（有俄语译本）给我留下了多么强烈的印象。我记得在其最开始的一篇讲义中就出现了黎曼曲面（当然所有分析的内容都是针对复变量的，也本该如此）。而积分渐进的内容是通过黎曼曲面上道路形变的方法来研究（如今，我们称此方法为Picard-Lefschetz 理论;顺便提一下，Picard是Hermite的女婿－－数学能力往往是由女婿来传承：Hadamard - P. Levy - L. Schwarz - U. Frisch 这个王朝就是巴黎科学院中另一个这样的范例）。 由Hermite 一百多年前所写的所谓的“过时的”教程（也许早就被法国大学的学生图书馆当垃圾扔掉了）实际上要比那些如今折磨学生们的最令人厌烦的微积分课本现代化的多。 如果数学家们再不睡醒，那么那些对现代的（最正面意义上的）数学理论仍有需要，同时又对那些毫无用处的公理化特征具有免疫力（这是任何敏锐的人所具有的特征）的消费者们会毫不犹豫的将这些学校里的受教育不足的学究们扫地出门。 一个数学教师，如果至今还没有掌握至少几卷Landau 和 Lifshitz 著的物理学教程，他（她）必将成为一个数学界的希罕的残存者，就好似如今一个仍不知道开集与闭集差别的人。

看来数学的确很重要啊，我也要在学习中要好好重视！

有点后悔没学好

俺也感觉数学太差  虽然大学时分数很好

数学肯定要好好学！但很多东西不是课上听讲,考试考好就算学好的！
现在我很多数学概念都是在学"信号与系统"还有"数字信号处理"等专业课时,重新研究了一下数学书,才弄懂得！

math is the base of everything！

美国是数学强国

RF应用场合，数字太重要了

学好数学有用

好贴DDDDDDDDDDDDD

数学是很重要，但发现自己就会做题。没有什么数学思想

和实践联系起来才知道数学的重要性
在学校就把书上面的学好就够了

没有学好数学在技术上只能登堂不能入室

数学是很重要

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