傅立叶变换的简易指南

周期看世界

傅立叶变换持有一种特别的观点：要是每一种信号都是周期性的呢（周期性重复）？

哇塞。这个假设太让人着迷了，可怜的约瑟夫·傅立叶首先提出了这个假设。（现实里约瑟夫，楼梯能做成环状的么？）

忽略数学界持续数十年的争论，我们希望学生们可以直观的理解这个概念。额……让我们略过直观的部分。

就像我们分析思暮雪成分一样，傅立叶变换可以分析出信号的成分：

开始时，是一个时域信号

用滤波器来测定每种可能的“周期信号成分”

完整的“配方”需要列出所有的“周期信号成分”的数值

完成。这就是大部分教程要教给你的东西。别被吓到了；想想这个例子“天哪，过五关斩六将，我们终于得到源代码（DNA）了”。

要是地震波（不同强度和速度的震动）能被分离成几种成分，建筑就能被设计成免于地震威胁的高强度结构。

要是声波（高低不同的频率）能被分成几种成分，我们就能增强想要的部分，削弱不想要的部分。随机噪声引起的噼啪声可以被滤除。相似的“声谱”可以被比对（音乐识别服务比对的是声谱而不是原始音频）。

要是电脑数据能被周期性的描述，那些不重要的信息就能被滤除。这种“有损压缩”可以急剧减小文件的大小（这就是为什么JPEG和MP3文件要比原始的.bmp或.wav文件要小得多的原因）。

要是我们的信号是无线电波，我们可以通过滤波器来听确定的频段。在思暮雪的世界里，想象每个人都注意着不同的成分：亚当在寻找苹果，鲍勃在寻找香蕉，查理想要花椰菜（兄弟，对不住了）。

傅立叶变换在工程领域运用广泛，但事实上，它是个寻找现象根源的象征。

多想想周期信号，而不是正弦曲线

我最大的困惑在于“正弦曲线”和“周期信号”的定义区分。

“正弦曲线”意味一种往复运动模式（正弦或余弦函数）。在99%的场合里，指的都是发生在象限里的运动

周期信号是一种环形，包括两个D形图案的模式。要你愿意用10块钱的话来描述10分钱的主意，你可以把一个圆形路径称作一个“完整正弦曲线”。

把一个周期的路径称作一个“完整正弦曲线”，就像你把一个谚语叫做“汉字的集合”。你选择了错误的细节级别。谚语包含了复杂的含义，而不是可以拆分的汉字！

傅立叶变换是关于周期（不是含有一个D形的正弦曲线）和欧拉公式的变换：
 

　

 

我们必须用虚数做周期运动么？当然不。即使那么做既方便又简洁。我们把信号分成实数和虚数的部分，但别忘了前提是：我们在做周期运动。

沿着周期路径

我们一边用电话聊天，一边在脑海里画圆（你答应了的！）。我该说什么呢？

这个圈儿该有多大呢？（幅度，半径范围的大小）

我们要画得多快？（频率。1周期/秒=1赫兹=2π弧度/秒）

从哪里开始呢？（相位角，0度对应x轴）

我可以说“2英寸，起始于45度，1圈儿每秒，开始吧！”。半秒之后，我们应该到达了同一点：起始位置+经过角度=45+180=225度（2英寸半径）。
 

　　

每个圆周路径都需要设定大小、速度和起始角度（幅度/周期/相位）。我们还可以把它们合到一块：想象用不同速度绕圈儿跑的小摩托车。

所有周期的位置信息加到一起就是原本的信号，一如所有的成分混合就得到了原本的思暮雪一样。

下面是一个对基本圆周路径的仿真：
周期的时间顺序显示，开始于0Hz。周期［0 1］的含义是
0的意思是0Hz周期（0Hz=开始于x轴，0度相位的连续周期）
1的意思是1Hz周期（每个时间间隔完成一个周期）
 

现在是棘手的部分：
 

蓝色图像表示周期的实数部分。另一个可爱的数学问题：我们常用水平轴来表示每个周期的实轴，其数值在数值轴上显示。你也可以把坐标轴旋转90度。

 

时间点间隔按照最高频率设定。1Hz信号需要两个时间点来表示，分别记录起始和终止时刻（一个信号值是没有频率的。）。时间值［1 -1］对应着这些等间隔点的幅度。

然后呢？［0 1］是1Hz周期。

现在加入2Hz周期，并叠加。［0 1 1］意味着“0Hz值为零，1Hz时值为1，2Hz时值为1”：

哇塞。我们的小摩托车越跑越快了：绿线代表了1Hz和2Hz，蓝线是叠加后结果。点选绿色复选框可以让结果看起来更清晰。混合好的“味道”是一个倾斜的函数，从最大值开始，降到最低值。

黄点是我们测量信号的时刻。已经确定了3个周期信号（0Hz， 1Hz， 2Hz），每个点为信号值的1/3.在这个例子里，周期［0 1 1］生成了时间量［2 -1 -1］，从最大值（2）开始，然后降到最低（-1）。

哦！刚才忘了考虑相位角了，现在我们要把它加上！加上数值：相位角。［0 1:45］是从45度开始的，1Hz的周期函数：

它是［0 1］的进阶版本。时域上，我们用［.7 -.7］替换［1 -1］。因为我们的周期函数并不是沿着我们的测量时方向上，它们是还在运动的点（这是可被设置的）。

通过改变周期信号的频率，强度和相位，傅立叶变换可以匹配任何时域信号。

信号所谓“时域观测”或是“频域成分”已成为一种抽象的概念。

说够了，就让我们把它讲明白吧！你可以选择模拟器里任何时间或类型的周期函数。如果它是时间表示的，你看到的许多构成所要周期函数的点（其集合被称为波）。
 

　　

但是——难道在黄色的时间间隔里不包括任何特殊的点么？当然包括。但是我们怎么知道没有测量的时候，信号是按照直线，曲线还是折线穿入另一象限呢？它在我们所需的等间隔时刻出现在我们希望的位置。

创造一个脉冲信号

我们可以用周期函数制造出一个脉冲信号么，像是（4 0 0 0）？（用括号表示时间点）

尽管脉冲看起来很烦人（难道只是烦人？），还是要考虑周期函数的复杂性。我们的周期成分必须对齐（最大值为4），然后向外传播，每个周期函数都有其它函数可与其抵消。每个显示为0的点，都是因为多个周期函数在此获得平衡（你并不能关掉某个函数）。