傅立叶变换的简易指南

关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，对于这个有史以来最重要的发现之一。如何才能更轻易地理解这个公式呢？

那么。抛开枯燥难懂的数学符号，让我们用一种新方法来试着理解。这是一个纯中文的阐述：

傅立叶变换有什么用？拿一杯思暮雪，用它能找出配方。

该怎么做呢？把思暮雪放进过滤器（滤波器），然后萃取每一种成分。

为什么呢？因为配方比思暮雪本身更容易用来分析、比较和定义。

我们怎么能拿回原本的思暮雪呢？混合所有的成分。

然后，类似于“数学-中文”模式：

基于时域的傅立叶变换会检测每一种“周期成分”（周期长度，补偿，和转速），返回完成的“周期配方”（频率图谱）

现在要上公式了？当然不是！让我们自己动手，进行一次生动的模拟。

要是一切顺利的话，你会惊奇的发现，你已经直观的明白了为什么傅立叶变换能够实现。我们用下列步骤替代了所有的数学分析。

这并不是一次紧张的实验，而是一次舒心的体验。让我们开始吧！

由思暮雪得到配方

数学变换的实质是变量关系的改变。根据所算之物，把我们对数量的认知从“单一物体”（沙里的线条，计数系统）变成“许多10”（小数）。游戏得分？继续计数。乘法？拜托，是小数。

傅立叶变换把我们的视角由消费者变成了生产者，从“我看到了什么？”变成“这是怎么发生的？”。

换句话说：拿一个思暮雪，我们要找出它的配方。

为什么呢？好吧，配方是饮料的最佳描述。你并不会跟人一滴一滴分析饮料，只会说“我有一杯橘子或是香蕉思暮雪”。配方比事物本身更易于归类、比对和定义。

那么……拿一杯思暮雪，到底怎么找到配方呢？
 

嗯，想象一下你周围有很多过滤器（滤波器）：

把思暮雪倒进“香蕉”过滤器（滤波器）里。提取出了1盎司香蕉。

倒进“橘子”过滤器（滤波器）里。提取出了2盎司橘子。

倒进“牛奶”过滤器（滤波器）里。提取出了3盎司牛奶。

倒进“水”过滤器（滤波器）里。提取出了3盎司水。

我们可以通过混合每种成分得到原先的思暮雪。懂了么？

过滤器（滤波器）必须是相互独立的。香蕉过滤器（滤波器）只滤出香蕉，没有其它的任何成分。再多的橘子也不能影响香蕉的读数。

过滤（滤波）必须是彻底的。如果我们遗漏了一个过滤器（滤波器），就永远也得不到真正的配方（天哪！那还有个芒果过滤器（滤波器）！）。我们的过滤器（滤波器）必须能确定每种成分的含量。

不同成分之间必须是可合成的。思暮雪必须能被分离并重制（饼干？没那么夸张。谁有想要一堆碎屑呢？）。不同成分在分离和结合的时候必须是线性的。