示波器基本概念之带宽、采样率，与奈奎斯特定理

1. 简介

高速数字器/示波器的模拟前端有两项主要组件，就是模拟输入电路及模拟数字转换器(ADC)。模拟输入电路将信号衰减、放大、过滤、及／或耦合，使ADC的数字化能达到最佳。ADC将处理过的波型做取样，将模拟输入信号转换为代表经过处理之数字信号的数字值。

图 1

带宽 (Bandwidth) 描述的是模拟前端在振幅损失最少的前提下，将信号从外部世界传入ADC的能力。采样率是ADC将模拟输入波型转换为数字数据的频率。奈奎斯特定理 (Nyquist Theorem) 说明采样率和受测信号的频率之间的关系。以下将更详细地讨论这三个名词。

2. 带宽(Bandwidth)

带宽形容一个频率范围，在这个范围内，输入信号可以用振幅损失最少的方式，穿过模拟前端──从探测器的前端或测试设备到达 ADC 的输入端。带宽指定为正弦曲线输入信号衰减至原振幅之 70.7% 时的频率，亦称为 -3 dB 点。下图说明 100 MHz 高速数字器的典型输入反应。

图 2

举例来说，如果将1 个 1 V、100 MHz 的正弦波，输入带宽为 100 MHZ 的高速数字器中，信号会被数字器的模拟输入途径衰减，而被取样的波型振幅约为 0.7 V。

图 3

数字器的带宽最好比要测量的信号中的最高频率高3 ~ 5 倍，以期在最低的振幅误差下撷取信号（所需带宽= (3 至 5)*欲测频率）。受测信号的理论振幅误错可以从数字器带宽与输入信号带宽(R)之间的比例计算得知。

图 4

举例来说，在使用 100 MHz 高速数字器测量 50 MHz 正弦曲线信号时（其比例 R=2），误差大约为 10.5%。
另一个和带宽有关的重要主题是上升时间 (Rise time)。输入信号的上升时间是指信号从最大信号振幅的 10% 转换到 90% 的时间，而且与带宽成反向相关，由以下公式呈现。此公式采用单极模型，R-C 限制输入反应为基础。

图 5

这表示100 MHz数字器的输入途径的上升时间是3.5 ns。我们建议数字器输入途径的上升时间为受测信号上升时间的 1/3 到 1/5，才能在上升时间误差最低的情况下测量信号。测得之上升时间的理论值 (Tr_m) 可以利用数字器的上升时间 (Tr_d) 和输入信号的实际上升时间 (Tr_s) 计算而得。

举例来说，在使用 100 MHz 高速数字器测量上升时间为 12 ns 的信号时，测得的上升时间约为 12.5 ns。

3. 采样率

采样率与高速数字器的带宽规格并不直接相关。采样率是指信号经过模拟输入径途之后，数字器的ADC将输入信号转换为代表电压强度的数字值的速率。这表示数字器是在模拟输入信道对信号施以任何衰减、增益、及／或过滤处理之后，才对信号取样，并将所得的波型转换为数字呈现。高速数字器的采样率是根据取样频率而定，它告诉ADC何时将实时的模拟电压转换为数字值。National Instruments的高速数字器可以根据设备的最大采样率加以衍生，以支持多种有效采样率。举例来说，NI 5112的最大采样率为100 Megasamples/second (MS/s)，可以设定为(100MS/s)/n的采样率，其中n = 1,2,3,4

图 7

4. 奈奎斯特定理

奈奎斯特定理：采样率> 2 * 受测信号的最高频率部份

奈奎斯特定理说明必须以高于受测信号的最高频率两倍以上的速度进行取样，才能正确地重建波型；否则高频的内容会成为目标频谱(spectrum of interest) 内某个频率（通带，Passband）上的 alias。Alias 是错误的较低频组件，出现在以过低采样率取得的样本数据中。下图显示1 个 5 MHz 的正弦波，由 6 MS/s 的ADC 进行数字化。虚线是 ADC 记录的 alias 信号，它是以 1 MHz 进行取样，而非以 5 MHz 进行取样。

图 8: 奈奎斯特频率的正弦波范例

5 MHz 频率以 alias 的方式落回通频中，呈现 1 MHz 正弦波的样式。为了避免通频的 alias 现象，你可以使用低通滤波器来限制输入信号的频率，或提高采样率。