量测基础篇－加速规原理

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在开发感测器以用于测量加速度时，有几种实际的程序可供使用。在牵涉到飞行器（例如飞机和卫星）的应用中，加速规是以旋转质量（rotating mass）为基础，但是在工业界，最常见的设计是结合牛顿的质量加速定律和虎克的弹簧动作定律。本文将从弹簧质量系统、自然频率与阻尼、震动效果这几点切入，搭配范例介绍此原理。
弹簧质量系统
牛顿定律表示：如果一个质量m受到加速度a，那么必然有一个力量F作用于该质量上，可叙述为F = ma。虎克定律也指出，如果一个弹性常数为k的弹簧从它的平衡位置拉长（延伸）至Dx距离，那么必然有一个力量作用于弹簧上，表示为F = kDx。
　

图 5.23 基本的弹簧质量系统加速度规
　

在图5.23a中，我们看到一个质量，平放在基板上，没有滑动。这个质量用弹簧连接至基板，弹簧位于未延伸状态，未对质量施加力量。在图5.23b中，整个总成向左加速，如图所示。现在弹簧延伸，以提供将质量加速所需的力量。这种情形可以用牛顿定律和虎克定律的等式来加以描述：

ma = kDx （5.25）

其中 k = 弹簧常数（spring constant），N/m
Dx = 弹簧延伸，单位公尺（m）
m = 质量，单位公斤（kg）
a = 加速度，单位m/s²

等式（5.25）将加速度的测量归纳为弹簧延伸量的度量（线性位移），因为：

如果加速作用的方向相反，同样的物理原则亦适用，只是弹簧是受到压缩，而非延长。等式（5.26）仍然描述弹簧位移和加速度的关系。

弹簧质量原理适用于许多常见的加速规设计。将加速度转变为弹簧位移的质量称为试验质量（test mass）或振盪质量（seismic mass）。然后我们看到，加速度测量归纳为线性位移测量；大部份设计的差异处即在于如何进行这个位移测量。

自然频率和阻尼
仔细检视刚才描述的简单原则，就会发现弹簧质量系统的另外一项特性，使分析变得复杂。明确地说，一个包含弹簧和连接之质量的系统在某个特别的自然频率（natural frequency ）下必然表现出摆动的现象。从之前的经验可知，如果我们将一个质量向后拉，然后放开它（在没有加速度的情况下）它会被弹簧拉回去，超过平衡点，然后来回摆盪。最后只有和质量和底座之间的摩擦力令该质量停止不动。一个位移测量系统会将这种摆盪现象视为实际发生了加速度。这个自然频率的计算方式为：

其中 fN = 自然频率，单位Hz
k = 弹簧常数，单位N/m
m = 振盪质量，单位kg

最后令质量停止的摩擦力由一个阻尼系数（damping coefficient）定义，它的单位是s-1。一般而言，摆盪的效果称为暂态响应（transient response），由一个週期性的阻尼讯号描述，如图5.24所示，其算式为：

其中Xr（t） = 暂态质量位置
Xo = 巅峰位置，一开始
µ = 阻尼系数
fN =自然频率

等式（5.28）中的各项参数，自然频率，以及阻尼系数，对于加速规的应用有极大的影响。

震动效果
要描述自然频率和阻尼对于弹簧质量加速规的行为的影响，最好的方式是用施加振动的方式来形容。如果弹簧质量系统被振动的话，那么所造成的底座加速度可由等式（5.23）得知：

a（t） = -w2xo sin wt

如果这应用在等式（5.25）中，我们可以知道质量运动是由下式提供：

其中所有的参数都已经说明过，而w = 2pf，使用／应用之频率。
　

图5.24 A 受到推动刺激时，弹簧质量系统表现出自然摆盪现象。
　

图5.25 A 弹簧质量加速规连接于一张桌子，这张桌子表现出振动的现象。桌子的运动极限是xo，质量运动为Dx。
　

为了说明等式（5.29）的预测，想像一下图5.25所呈现的状况。我们的模型弹簧质量加速度规是固定在一张振动中的桌子上。等式（5.29）中的xo是桌子振动的最大振幅，Dx 是加速规中的振盪质量的振动。因此，等式（5.29）预测振盪质量振动峰值随着振动频率的平方而变动，但是与桌子振动振幅成线性关系。但是，这个结果并没有考虑到弹簧质量系统的自然振动。在将自然振动纳入考虑时，就会发生相当大的不同。

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图5.26a显示实际的振盪质量振幅峰值与桌子振动频率的关系，再与预测中的简单频率平方做比较。你可以看到，当桌子频率等于加速规的自然频率时（也就是Dx的值经过峰值时），会出现一个共振效果。共振峰的振幅是由阻尼量来决定。振盪质量振动可由等式（5.29）描述，最高约只能到达 fN/2.5。

图5.26b显示两个效果。第一个效果是实际的振盪质量运动受到加速器的实际大小限制。在共振时，它会击中总成内建的「停止」而限制其运动。这个图也显示出，对于远高于自然频率的频率而言，质量的运动与桌子运动峰值xo成正比，但是不与频率成正比。因此，它变成一个位移感测器。摘要而言：

1. f < fN – 就低于自然频率的施加频率而言，自然频率对于等式（5.25）和（5.29）所给予的基本弹簧质量响应的效果很小。最重要的原则指出，安全的施加频率上限是f < 1/2.5fN。

2. f > fN -就远比自然频率来得大的施加频率而言，加速规的输出值与施加频率无关。正如图5.26b所示，在这种情况下，加速规变成等式（5.20）的振动位移 xo 的测量。有趣的是，在这个例子里，振盪质量是静止的，而其外罩受振动驱使而绕着质量移动。一般性规则设定这个例子为f > 2.5 fN 。

一般来说，加速规不会使用在接近其自然频率的共振，因为输出值会呈现高度非线性状态。
　