FFT 在单片机C8051中的实现

0 引言
    由于单片机的性价比高，因此在数据采集及频谱分析系统中往往取代DSP芯片而被广泛使用。在数字信号处理中，离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)是常用的变换方法，它在各种数字信号处理系统中扮演着重要的角色。快速傅里叶变换(Fast Fourier Transfonn，FFT)并不是与离散傅里叶变换不同的另一种变换，而是为了减少DFT计算次数的一种快速有效的算法，且它们都是为了将信号变换到频域并进行相应的频谱分析。虽然FFT是一种快速的运算方法，但是为了计算N点的FFT依然需要Nlog2N次加法和0．5Nlog2N次乘法。当N比较大时，其运算复杂度对RAM的需求也是很大的。在本文中，我们将探讨如何优化FFT算法，并将其在单片机中实现。
    虽然在实现FFT方面已有很好的芯片来解决其运算速度及RAM容量的问题，但由于单片机的成本相对比较低。因此讨论在单片机中实现FFT算法具有现实意义。最后本文还给出了用单片机实现FFT在雷达检测中的应用。

1 基数为2的FFT算法
    FFT的输出与DFT的输出是一致的，但冗余的计算在FFT中已被减去，使得其计算速度比较快。对于N-点的傅里叶变换，DFT需要的计算复杂度是N2，而FFT需要的计算复杂度是N/2log2N。因此当N比较大时，使用FFT做傅里叶变换将会大大减少计算量。比如做64点的DFT需要4096的计算复杂度，而使用FFT只需要192的计算复杂度。在单片机中，当使用别的优化方法时，FFT的计算需要更少的时间。
    在本文中，使用FFT时，我们关心的是如何减少为了存储中间数据所需要的临时内存空间。在执行FFT时，输入数据和输出数据将以比特倒序的方式存储。在顺序与倒序之间改变时，每一数据点与数据集里的另一数据点的位置相换是由将样本系列的顺序倒置决定的。例如，在16点的FFT变换，样本存储的地址是001 b将与存储在100 b位置上的样本互换。具有倒序字节的位置是和没有倒序字节的位置是相等的，比如0110 b是不互换位置的。计算FFT的顺序是由FFT的输入或输出是否需要以倒序保存决定的。

2 对输入数据加窗
    FFT变换可以作用在具有有限时间长度的数据，但是对此数据集进行一个假设：就是周期的，且无限次重复。当样本数据以这种方式重复时，最后一个样本(下标[N-1])是紧接着下一周期中的第一个样本([0])的。如图1所示，当数据在整个样本集中不是周期性的，则当对整个样本做FFT时会导致不连续性。正因为这样，数据在进行FFT变换前通常需要加窗。加窗使得样本集变成周期性且去掉在第一个样本与最后一个样本之间的不连续。由于加窗改变了输入数据，在频域上它将产生一些噪声。加窗会将信号的能量伸展到几个点上。能量分布会削弱信号的峰值。大部分信号的原始内容存储在主要部分里，当一部分发生旁瓣泄漏(如图2所示)，主要部分的宽度和旁瓣的高度由应用在信号的加窗算法决定。一些窗函数及其性能如表1所示。为计算N点FFT的加窗函数的系数的一些方程如表2所示。更多关于加窗算法与他们的参数参见文献[2]。

3 FFT优化
    已经出现了很多优化FFT的方法。而这些优化方法的目的都是为了使得计算速度增快且尽可能的减少存储数据所需要的RAM。
    我们都知道，计算FFT的一个重要方法是蝶式方法。但是蝶式计算的每一次迭代都需要一个复杂的乘法(总共是四次的长整数乘法)。长整数乘法需要很多处理内存来完成。但是我们仔细观察会发现其中一些乘法是不需要的，并且是可以省去的。特别是，当乘数为零时，结果将为零和当乘数为1时，相乘的结果将不变。对那些正弦和余弦函数是否为0或1进行查询的代码可以利用这些优点来减少计算量。这种优化方法能节省的计算量为：其中N为FFT的点数。

4 程序总体设计
    首长分成三个模块集合而成。即数据采集模块，A／D转换模块及FFT运算模块。数据采集模块主要是通过定时器来控制A／D转换器的采样周期，将采集到的数据转换成有符号数，并且可以以复数形式存贮。FFT的运算模块是在8051单片机的数据存贮器上运行256点的FFT，并经一快速平方根或快速对数运算，计算出对应128个频率点的幅值或分贝表示值。具体流程如图3。

5 在电话视频中的应用
    在一个会议中，当说话人变换时。我们需要摄像头能自动跟踪并检测出说话人的位置，这就需要用到FFT及其反变换来计算角度。

6 结论
    本文主要介绍了一种在单片机中实现FFT算法的优化方法，由于这可大大减少FFT的计算量及减少存储数据所需要的RAM。因此其可应用在电话视频会议中。