基于状态空间法的非理想Boost电路开环建模

摘要：Boost变换器是组成高阶变换器的基本单元，故对其建模和仿真的研究有着理论和实际意义。状态空间平均法是DC-DC变换器建模的有力工具。在考虑了电感电容高频寄生电阻的条件下，应用状态空间平均法对非理想Boost变换器进行建模。为统一开关变换器不同工作状态下的状态方程，在此引入开关函数。开关函数的引入使得对状态方程平均化的问题转化为对开关函数平均化的问题，简化了建模过程，且平均化的开关函数具有明确的物理意义。最后将数学模型与电路模型的仿真结果以及实测数据加以对比，得出了较为一致的结论，为直流变换器的设计和分析提供参考。
关键词：状态空间平均法；Boost变换器；数学模型；电路仿真

DC-DC变换器是构建许多其他类型变换器的基本组成部分。在实际系统中，由于输入的直流量存在纹波以及负载的微小变化等因素，使得DC-DC变换器是一个非线性时变系统，关于它的建模研究一直受到普遍重视。状态空间平均法是在变换器满足低频假设、小纹波假设及小信号假设的前提条件下，对非线性系统的线性化建模方法。在满足假设条件的前提下，可以得到较好的仿真结果。对理论研究和设计有一定指导意义。

1 建模方法
为了消除变换器中高频纹波对各变量的影响，需要采取在一个开关周期内求变量平均值的方法，并以状态方程的形式建立各平均变量间的关系，进而建立平均状态方程。对于CCM模式下的理想DC-DC变换器，在一个开关周期内，对应开关元件的不同工作状态，通常可以将变换器的工作过程分为两个阶段，针对每个阶段分段列出状态方程。根据文献所述，有：

式中：x(t)为状态向量；u(t)为输入向量；y(t)为输出向量；A1为系统状态矩阵；B1为输入矩阵；C1为输出矩阵；E1为前馈系数矩阵。
同理，在每个开关周期的[dTs，Ts]时间段内，采取同样的方法，建立该时间段内的状态空间表达式：


在变换器满足低频假设与小纹波假设时，可用状态变量在一个周期内的平均值代替瞬时值，得到CCM模式下DC-DC变换器平均变量状态方程的一般形式：

在低频假设与小纹波假设的前提下，对于状态变量与输入变量可以用其在一个开关周期内的平均值代替瞬时值，并近似认为平均值在一个开关周期内维持恒定，即：

为了使变换器在不同工作状态下状态具有统一的形式，本文引入开关函数，并设开关导通时ε(t)=1，开关截止时ε(t)=0，即：

在定义了开关函数后，变换器的状态方程即可用如下形式的微分方程来表示：

式中x=[i(t) u(t)]T。引入开关函数后，状态方程的物理意义更加明确，状态方程平均化问题得到简化。下面将应用此方法对非理想Boost变换器进行建模分析，其分析方法同样适用于其他变换器。
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2 非理想Boost变换器的Matlab仿真
2．1 状态空间平均法的仿真
Boost变换器主电路如图1所示，功率开关Q，储能电感L，续流二极管D，滤波电容C。由于变换器的开关频率很高，电感绕线的集肤效应和电容的金属损耗较大，故在这一频率范围内电感和电容的等效电阻已经不能忽略，而电容的等效电感以及电感的等效电容数值较小，基本可以忽略，故在建模过程中只考虑电阻rC和电阻rL的影响。当0≤tdTs时，开关闭合，状态方程如下：

选取Uo为输出变量列写输出方程：

当dTs≤tTs时，开关断开，状态空间表达式如下：

应用开关函数，将式(12)～式(15)写成在0≤tTs内统一的形式：

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对式(16)，式(17)中矩阵的元素在一个开关周期内求平均可以发现，A，B，C矩阵中只有ε(t)是时间的变量，其余都为常数，即在一个开关周期内平均值为其本身。故只需对ε(t)在一个开关周期内求平均：

式中D为占空比。
将式(16)，式(17)中的ε(t)替换为D，即可得到平均状态空间表达式：

式中D’=1-D。
由状态空间表达式建立Simulink数学模型如图2所示。

2．2 非理想Boost的电路仿真
使用Simulink中的SimPowerSystems工具箱对图1所示电路进行仿真，建立仿真电路如图3所示，采用ode23tb算法，仿真时间0．015s。

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3 仿真及测试结果
选取Vg=12 V，L=330μH，C=47μF，RL=12 Ω开关频率300 kHz，实测rC=50．1 mΩ，rL=53．2 mΩ。采用SG3525芯片产生PWM脉冲驱动MOSFET，占空比调节范围0～50％。选取几个典型占空比进行仿真，仿真得到的输出电压波形如图4和图5所示。

在不同占空比下输出电压的对比关系如表1所示。

表1中U1为状态空间法仿真输出电压值，U2为电路仿真输出电压有效值，U3为实测电压有效值。

4 结语
本文应用状态空间平均法对电流连续模式下的非理想Boost变换器进行了开环状态下的建模和仿真。将开关函数引入到状态空间模型中，使变换器不同工作状态下的状态方程具有统一的形式，且使状态方程的物理意义更加明确。从电路模型仿真和状态空间法仿真结果可以发现，在满足低频假设，小纹波假设和小信号假设的前提下，应用状态空间平均法的仿真结果与电路模型的仿真结果具有一致性，验证了建模方法的正确性，对变换器的设计有一定指导意义。