基于数学优化法的带通滤波器研究

摘要：提出了在滤波器设计过程中的一种数学优化设计方法。理论分析表明，该设计方法能够通过设定目标函数和约束条件的方式迅速而准确地逼近目标，接近理想响应。基于该分析，分别用插入损耗法和数学优化法设计了一个等波纹电感耦合带通滤波器。仿真结果表明：使用数学优化法不仅可以快速而准确地进行设计，而且能大幅提升滤波器性能。
关键词：数学优化法；插入损耗法；带通滤波器；波纹电感

微波滤波器是无线通信收发电路的重要组成部分，在收发前端承担信号选择的功能，在各种无线系统中得到非常广泛的应用，对它设计方法的研究也一直是微波学界研究的焦点问题之一。通常，滤波器可采用传统的电路综合法，包括镜像参量法、网络综合法、插入损耗法等进行设计。近年来，随着无线通信技术的日益发展和微波滤波器面积的不断缩减，单纯利用传统的设计方法已经很难满足结构更加复杂的现代新型滤波器的设计要求。因此，提出新的设计方法已经成为技术发展和应用的关键问题之一。
基于以上背景，本文提出了一种数学优化设计方法进行滤波器设计。相比传统的电路综合法，这种优化设计方法可对多个频率点设立目标函数，在一段频率区间内实现对多个目标的逼近，从而有效地把握滤波器的整体响应，达到精确设计并提高性能的目的。本文用该方法设计了一种等波纹电感耦合的带通滤波器，验证其在控制带宽及改善整体性能方面的优越性。

1 数学优化法设计原理
数学优化法是一种求极值的方法，即在一组约束条件下，使目标函数达到极值，常用的数学优化方法有梯度法、牛顿法、退火算法和遗传算法等。
在滤波器的优化设计过程中，先求得优化频率点，然后构造目标函数K，并把其在优化频率点处的最小值作为目标，利用优化算法求得最优解。
1．1 求解优化频率点
等波纹带通滤波器是以切比雪夫多项式为基础进行设计的，由于带通滤波器的频率响应是低通原型的频率响应经变换得到的，所以首先来考虑低通滤波器。
广义切比雪夫低通原型的滤波函数PLR是一关于频率ω的有理函数，PLR由它的零、极点及一个常数所决定。若用切比雪夫多项式设定N阶低通原型的插入损耗响应，则可以得到滤波函数PLR为：
[p]

由式(2)，(3)可得，S11和S21的零点分别为ωzi，ωpi(i由N决定)。
设最终要实现的是中心频率为ω0的带通滤波器，现根据式(4)将低通响应转换为带通响应。

式中：△，ω0分别为带通滤波器的相对带宽和中心频率；ωi'为低通响应的频率点：ωi为低通响应转换为带通响应后ωi'的对应频率点。
由式(4)有：

得到对应带通滤波器中S11和S21的零点ωzi，ωpi，即所要求解的优化频率点。
1．2 目标函数的构造
考虑到实际中介质损耗、原件损耗、尺寸误差诸多方面的问题，在1．1中所提及的理想条件下的函数关系式(1)，(2)，(3)实际是不可实现的，由于PLR的零点就是反射函数S11的零点，而它的极点为传输函数S21的零点，因此可以选择S11和S21的零点构造目标函数，至于常数k可以从ω=±1处的反射系数计算得出，据此做出如下目标函数：

本文提出使用梯度优化算法来对目标函数逼近。首先求得目标函数K的梯度。为了使优化过程更为有效，采用目标函数的梯度来搜索其极值点。这种基于梯度的优化方法收敛极快，而且不会出现优化过程无法收敛或者收敛于局部极值点的情况，从而能够快速而准确地逼近目标函数。
[p]
2 滤波器的仿真及对比
为验证这种方法的有效性，用插入损耗法设计一个中心频率为2 GHz，等波纹带宽为30％的三阶0．5 dB等波纹电感耦合带通滤波器。
等波纹电感耦合带通滤波器的传输线模型如图1所示，其中全部传输线的特征阻抗均为Z0，一般选取为50 Ω，θi为第i段传输线的电长度，jXi为对应的第i个电感的阻抗，模型两端的两段传输线为引出线。

该传输线模型实际上可等效为的阻抗倒相器与半波长谐振器串联的结构，据此可以计算得出各传输线的电长度及各电感值。使用插入损耗法得到的三阶0．5 dB等波纹电感耦合带通滤波器的微带实现版图如图2所示。

各微带线的尺寸为：

在此基础上进行数学优化，优化目标为min K。[p]
根据优化计算的结果，得出滤波器中各传输线尺寸如下(对应图2中各参数)：

传输函数S11，S12的仿真结果如图3所示。

由图3(a)分析知，采用插入损耗法的仿真结果中通带的带宽在26％左右，而在此基础上采用了数学优化方法后，通带带宽增加，达到了设定的30％。另外，图3(b)显示，优化后的结果改善了原有的等波纹特性，更接近理想响应，滤波器性能得到提升。

3 结语
本文针对滤波器的设计提出了一种数学优化设计方法。理论分析和仿真结果表明这种方法相比传统的插入损耗法具有极大的优越性，该方法能够通过设定目标函数和约束条件的方式迅速而准确地逼近目标，接近理想响应，大幅改善滤波器性能。因此该方法可以广泛应用于滤波器的设计过程中。