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线性电路分析——节点法详析

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一. 定义
    以独立节点电位为待求变量,根据KCL对各独立节点KCL约束方程,而对电路进行分析的方法称为节点电位法,简称节点法。独立方程的个数等于独立节点的个数,即(n-1)个。非独立节点的电位取零,称为参考节点,也称"接地",并用符号"┴" 。节点法对平面网络与立体网络均适用。 二. 独立节点电位变量的完备性与独立性
独立节点电位变量的完备性是指电路中所有的支路电压,都可由独立节点电位求得。例如图3-5-1所示电路,它有四个节点,五个支路电流。对四个节点进行编号如图中所示,并取节点(1)(2)(3)(4)为参考节点,即取节点(4)的电位φ4=0,则节点(1),(2),(3)即为独立节点。设它们的电位分别为φ1,φ2,φ3。今若φ1φ2,φ3已知,则各支路电压即均可求得为:

  
   图3-5-1     节点法 可见独立节点电位变量具有完备性。
    独立节点电位变量的独立性是指各独立节点电位之间不受KVL约束,彼此独立,不能互求。例如对外网孔回路,我们可KVL方程
即      φ1-φ33441=0
即      0=0
此式恒为一等式,即不管φ2, φ3, φ4为何值都恒成立。对其它回路也能得到同样结果。所以,独立节点电位变量具有独立性。
    由于独立节点电位变量具有完备性与独立性,所以可作为电路分析的变量。
三. 独立节点KCL约束方程的列写与求解
在图3-5-1所示电路中,设各支路电流的大小和参考方向如图中所示。于是对三个独立节点可列出方程:
此方程组称为独立节点电流约束方程,简称节点方程。解此方程组即可得各独立节点电位φ1,φ2,φ3。
    在式(3-5-4)中,令G11=G1+G5,G22=G1+G2+G3,G33=G3+G4+G5,它们分别为节点(1),(2),(3)的自电导,为正值;令G12=G21=-G1,G13=G31=-G5,G23=G32=-G3;G12,G21均称为节点(1)与节点(2) 互电导,G13,G31均称为节点(1)与节点(3)的互电导,G23,G32均称为节点(2)与节点(3)的互电导。互电导为负值。令is11= is1,is22=0,is33=- is4,它们分别为流入各该节点的电流源电流的代数和,流入节点者取"+"号,流出节点者取"-"号。这样式(3-5-4)即可写为

 
可见节点方程的列写也是很有规律的。
    将上式写成矩阵形式即为:

  即 GΦ=in (3-5-7)


称为节点电导矩阵,为一对称阵:

    

为独立节点电位列向量; 

   
为节点电流源电流列向量。式(3-5-6)或(3-5-7)即为矩阵形式的节点方程。 求解式(3-5-7)得:  Φ=G‾¹in (3-5-8)

四. 支路电压与支路电流的求解
    将所求得的φ1,φ2,φ3代入式(3-5-1)即可求得各支路电压。在求支路电流时,同样应先设定它们的大小和参考方向横。若设定4各支路电流的大小和参考方向如图3-5-1中所示,则即可根据式(3-5-3)求得各支路电流。
五. 节点法的一般步骤
(1).画出电路图。
(2).选取参考节点,并设定各独立节点电位的大小和正负性,一般都是取各独立节点为"+"极端,参考接点为"-"极端。
(3).对各独立节点列写KCL约束方程,方程个数与独立节点个数相等。
(4).联立求解KCL约束方程组,即可得各独立节点电位。
(5).设定各支路电流的大小和参考方向,根据所求得的独立节点电位,即可求得各支路电压和支路电流。至此,求解工作即告完毕。
   最后要指出的是,节点法的应用极为广泛。这是因为:(1)它既适用与平面网络,也适用与非平面网络;(2)在实际电路中,其独立节点数往往要比网孔数少。
例3-5-1 列出图3-5-3(a)所示电路的节点方程并求解

   

图3-5-3 例3-5-1的电路

解:该电路的特点是在其中的两个节点之间有一2V的理想电流源,无法将它等效变换为电流源。对与此种电路,若选电压源的一端(例如负端)作为参考接点,则电压源另一端的电位即为已知,即φ1=2V
这样,该电路就只有两个未知的节点电位φ2和φ3。对应的节点方程为


代入数据,联立求解以上三式即得      φ1 =2V,φ2=1.5V, φ3=0.5V.
   但若选参考节点如图3-5-3(b)所示,则由于三个独立节点电位φ1,φ2,φ3均为未知,故必须对三个对立节点列出方程,且应设定流过电压源中的电流大小为i0与参考方向,如图3-5-3(b)中所示。于是可列出方程为

    
联解得  1=2.5V,φ2=2V, φ3=0.5V, i0=3A. 

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