电阻组合：用1kΩ电阻可以组合出多少值来？

        凡是模拟设计师恐怕都有通过标准阻值电阻的串联/并联得到非标准阻值的经验吧？为了尽量避免生产中的调试工作，我们可以使用0.1%精度的电阻得到精密分压器。为了获得非标准阻值，将两个或更多个电阻串联起来是很好的一个方法——总的电阻值就是它们的和，因此计算非常容易。有效值是较大的电阻，串联中的小值电阻用于精细调整。
即使是日常生活琐事，比如修理绕线散热电阻出现开路的老式真空管电子琴，从废料箱中找出一串5W电阻然后将它们焊接在一起也能挽救大局。当然，随着热量的散发，这些电阻还能比原始器件冷却得更快。
并联电阻的计算稍微难一点，计算公式是RTOTAL = (R1 × R2) / (R1 + R2)。并联非常适合像稳压器等需要人工微调的电路，这时经常需要拿一个大值电阻与小值电阻并联焊接在一起。这对于大规模生产来说并不是一个好方法，但对于一种一个的装置来说是极好的，而可调电位器的取消意味着今后的校准工作会更加方便。
Martin Rowe给我出了一个不大不小的问题：“只用1kΩ电阻可以组合得到多少值？”
好吧，这听起来很有趣，也是我以前从未认真考虑过的事。我立马来劲了，想要知道多达10个1kΩ电阻在各种串联/并联组合下的值。但做到5个电阻时，可能的排列组合就变得让人难以应付了。
那么n个1kΩ电阻究竟能得出多少个排列组合呢？
首先最明显的排列是全部串联和全部并联。当n=2时，可能的排列是两个值(图1)。


两个电阻，两种组合。这个很简单。

当n=3时，有4种可能的排列。快速计算技巧——当所有电阻都是相同值时，它们的等效电阻是它们的值除以并联电阻的数量。将电路分解为小的串联/并联电阻对，然后一步步算出最终的等效电阻值。成对的使用能使并联计算容易得多(图2)。


3个电阻，4种组合。

当n=4时，排列数字很快增加到9种(图3)。我想我已经覆盖了所有变化，但如果有人发现还有遗漏的，请通过评论让我知道。


4个电阻产生9种组合。

最右边的组合结果是1000Ω，与单个电阻相同。这种组合的优势是通过使用4个电阻，散热能力增加了4倍，耐压能力则翻倍。当你想要全部使用贴片电阻时，这是一个很有用的技巧。
当电阻数量增加到n=5时，排列数量增加到23，假设我没有忽略任何可能性的话。同样，如果你发现还有新的排列，请在评论中告诉我。


5个电阻我想出了23种组合。还有其它组合吗？

这时我认识到，我是没有希望达到我设定的10个电阻这个目标了，即使达到也没有足够的纸让我把各种组合全部画出来。也许一些数学奇才有办法计算出n个电阻时可能的排列组合数量，那就请他不吝赐教了。
你能给出任意数量的串联/并联电阻时的排列数量公式吗？