差分阻抗-什么是差分？

翻译：Michael Qiao
    当你认为你已经掌握了PCB 走线的特征阻抗Z₀，紧接着一份数据手册告诉你去设计一个特定的差分阻抗。令事情变得更困难的是，它说：“……因为两根走线之间的耦合可以降低有效阻抗，使用50Ω的设计规则来得到一个大约80Ω的差分阻抗！”这的确让人感到困惑！
    这篇文章向你展示什么是差分阻抗。除此之外，还讨论了为什么是这样，并且向你展示如何正确地计算它。

单线：
图1(a)演示了一个典型的单根走线。其特征阻抗是Z₀，其上流经的电流为i。沿线任意一点的电压为V=Z₀*i（ 根据欧姆定律）。

一般情况，线对：
图1(b)演示了一对走线。线1 具有特征阻抗Z₁₁，与上文中Z₀ 一致，电流i₁。线2具有类似的定义。当我们将线2 向线1 靠近时，线2 上的电流开始以比例常数k 耦合到线1 上。类似地，线1 的电流i₁ 开始以同样的比例常数耦合到线2 上。每根走线上任意一点的电压，还是根据欧姆定律，为：
V₁ = Z₁₁*i₁ + Z₁₁*k*i₂              （1）
V₂ = Z₂₂*i₂ + Z₂₂*k*i₁
现在我们定义Z₁₂ = k*Z₁₁ 以及Z₂₁ =k*Z₂₂。这样，式（1）就可以写成：
V₁ = Z₁₁*i₁ + Z₁₂*i₂                （2）
V₂ = Z₂₁*i₁ + Z₂₂*i₂
这是一对熟悉的联立方程组，我们可以经常在教科书中看到。这个方程组可以一般化到任意数量的走线，并且可以用你们中大部分人都熟悉的矩阵形式来表示。
 
图1 各种走线的结构

特殊情况，差分对：
图1(c)演示了一对差分走线。重写式1：
V₁ = Z₁₁*i₁ + Z₁₁*k*i₂                     （1）
V₂ = Z₂₂*i₂ + Z₂₁*k*i₁
现在注意在仔细设计并且是对称的情况下，
Z₁₁ = Z₂₂ = Z₀，且
i₂ = -i₁
这将导致（经过一些变换）：
V₁ = Z₀*i₁*(1-k)                               （3）
V₂ = -Z₀*i₁*(1-k)
注意V₁ = -V₂，当然，这是我们已经知道的，因为这是一个差分对。

有效（差模）阻抗：
电压V₁ 以地为参考。线1 的有效阻抗（单独来看，在差分对中叫做“差模”阻抗，通常叫做“单线”阻抗）为电压除以电流，或：
Z_odd = V₁/i₁ = Z₀*(1-k)
由上可知，因Z₀ = Z₁₁ 且k = Z₁₂/Z₁₁，
上式可写成：
Z_odd = Z₁₁ - Z₁₂
    这也是一个在许多教科书中都可以看到的公式。
    为了防止反射，正确的端接方法是用一个值为Z_odd 的电阻。类似地，线2 的差模阻抗与此相同（在对称差分对的特定情形下）。

差分阻抗：
假定在某一瞬间我们将两根走线用电阻端接到地。因为i₁ = -i₂，所以根本没有电流流经地。也就是说，没有真正的理由把电阻接地。事实上，有人认为，为了将差分信号和地噪声隔离，一定不能将它们连接到地。因此通常的连接形式如图1(c)中所示，用单个电阻连接线1 与线2。电阻的值是线1和线2 差模阻抗的和，或：
Z_diff = 2*Z₀*(1-k) 或
2*(Z₁₁ - Z₁₂)
这就是为什么你经常看到实际上一个差分对具有大约80Ω的差分阻抗，而每个单线阻抗是50Ω。

计算：
知道Z_diff 是2*(Z₁₁-Z₁₂)不是很有用，因为Z₁₂ 的值并不直观。但是，当我们看到Z₁₂与耦合系数k 有关，事情就变得清晰了。事实上，耦合系数与我在Brookspeak 中关于串扰的专栏^I中谈到的耦合系数是相同的。国家半导体发布的计算Z_diff 的公式^II已经被广泛接受：
Z_diff = 2*Z₀(1-.48*e^-.96*S/H) 微带线
Z_diff = 2*Z₀(1-.347*e^-2.9*S/H) 带状线
其中的术语在图2 中定义。Z₀ 为其传统定义^III。
 
图2 查分阻抗计算中的术语定义

共模阻抗：
为了讨论完整起见，共模阻抗与上面略有不同。第一个差别是i₁ = i₂（没有负号），这样式3 就变成：
V₁ = Z₀*i₁*(1+k)                 （4）
V₂ = Z₀*i₁*(1+k)
并且正如所期望的，V₁ = V₂。因此单线阻抗是Z₀*(1+k)。在共模情况下，两根线的端接电阻均接地，所以流经地的电流为i₁+i₂ 且这两个电阻对器件表现为并联。也就是说，共模阻抗是这些电阻的并联组合，或：
Z_common = (1/2)*Z₀*(1+k)，或
Z_common = (1/2)*(Z₁₁ + Z₁₂)
注意，这里差分对的共模阻抗大约为差模阻抗的1/4。

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I "Crosstalk, Part 2: How Loud Is It " Brookspeak, December, 1997.
^II 参考国家半导体"Introduction to LVDS"（第28-29 页），可以从其官方网站上访问：http://www.national.com/appinfo/lvds/。
^III 参考"PCB Impedance Control, Formulas and Resources", March, 1998, 第12页。公式为：
 

本文发表在Printed Circuit Design，一种Miller Freeman 的出版物，1998 年8 月. 1998 Miller Freeman, Inc. . 1998 UltraCAD Design Inc.