谈 ADS 如何用 Harmonic Balance 来模拟振荡器

一般而言，电路的仿真，就是在讨论「输入讯号」和「输出讯号」之间的关系。像放大器就是在讨论「输入讯号」和「输出讯号」之间的倍率关系。相移器是讨论「输入讯号」和「输出讯号」之间的相位关系。若是线性电路，则可以把输入讯号和输出讯号整理成矩阵形式后，解反矩阵即可得到输出讯号。然而，振荡器却无法这样子分析。

因为振荡器本身没有「输入讯号」，却有「输出讯号」。所以，模拟振荡器是件很特别的事情。站在电路求解的立场，你可以把他想象成要求一个矩阵的NULL。嗯~~~说多了。总之，就是跟典型的电路解法不同，要不就是开发一种新的计算方法，要不就是想想有没有替代方案。而在 ADS 的 Harmonic Balance 里头，就了一种替代方案，仍然可以传统的电路计算方法来找出振荡器的特性。

这个原理很简单。首先，我们来设想一个状况。假如一个振荡器在稳定振荡的时候，如果我把其中的一条线拉出来。我们可以想象，这条线，基本上是有两个方向的讯号在来来回回(图一中，就是向右的 S₁ 以及向左的 S₂ )。运作方式如下：

一开始有一个小小的讯号叫做 S₁
->   S₁ 因为遇到反射 (Γ₁)就会反射成 S₂
->   S₂ 因为遇到反射 (Γ₂)就会反射成 S₁
->   S₁ 再因为遇到反射 (Γ₁)就会反射成 S₂
->   S₂ 再因为遇到反射 (Γ₂)就会反射成 S₁
………

于是就这个样子一直循环下去。

 

图一 振荡器稳定振荡的情况

这个样子的循环，我们可以发现，每一次循环 S₁ 或 S₂ 都会增加 Γ₁ × Γ₂ 倍(向右以及向左各反射一次，再变回自己)。这个时候，如果我们讨论  Γ₁ × Γ₂ 的大小。我们会发现有三种情况：

状况1：| Γ₁ × Γ₂ | > 1 则讯号会越来越强

状况2：| Γ₁ × Γ₂ |= 1 则讯号大小不变
状况3：| Γ₁ × Γ₂ | > 1 则讯号会越来越弱

前述三种状况，在状况3中，因为讯号会越来越弱，所以这种电路不会有振荡的行为，因为来反射几次讯号就趋近于零了。于是我们就讨论状况1，以及状况2。

在状况1当中。当讯号越来越强。因为晶体管会有饱和的现象，也就是晶体管所产生的反射能力( Γ₂ )会随着讯号增强而变弱。这个时候，因为 Γ₂ 越来越小，而| Γ₁ × Γ₂ |也就越变越小。于是小到| Γ₁ × Γ₂ |=1 的时候。讯号大小就会维持不变，于是 Γ₂ 就不变。于是电路就稳定在| Γ₁ × Γ₂ |=1 的情况下。我们因此得知稳定振荡的条件1：

条件1：会振荡的电路，都是先从状况1 (| Γ₁ × Γ₂ | > 1)，再变成稳定的状况2 (| Γ₁ × Γ₂ |= 1)。

讨论完大小，再来就是讨论相位的问题了。相位的问题其实很简单。我们在状况2当中，相位如果不等于 0 的话。那么一前循环后的讯号和自己有个相位差，这个时候频率就会改变。可以这样子想象，如循环一次，这个讯号已经跑超过 360 度了。于是再以这个超过 360度的讯号再去循环。下一次就又跑得更快了。很久很久后，不就可以发现，这个讯号的频率变快了吗?  反过来说，如果这个讯号跑不足 360 度。循环一阵子后的讯号，自然就慢了下来，频率也就变低了。在此得知稳定振荡的条件2：

条件2：当 | Γ₁ × Γ₂ |= 1 的时候， phase( Γ₁ × Γ₂) = 0 的频率，就是振荡的频率

纵合以上两个条件，我们知道，我们希望的，就是求出 Γ₁ × Γ₂ 就可以分析出电路的稳定振荡行为了。

最简单的作法，就是把电路切断，这样子电路就有两个 Port。再计算这两个 Port 所带来的反射系数，如下图：
 
 

图二 断开电路求振荡

图二的模拟中，会发现这个讯号里头，把电路完全切成两半了。然而实际的振荡器中，如果用频率的角度来看大讯号的运作，其实一个讯号中有好多的频率成份在里头，也就是一倍频、两倍频 … 。也是这些倍频项次控制着组件的饱和现象。因此这一种切开的方法，就只能观察条件一中，| Γ₁ × Γ₂ | > 1 的状况，以及条件二中，| Γ₁ × Γ₂ |= 1 的情况。这个方法是可以用来做初始设计，但若要做完整分析，就没办法了。

于是，我们可以想一想要如何让一倍频的讯号可以反射，而其它的讯号可以通行无阻。这个在不同的软件中，都有不同的解决方法。而在 ADS 之中。他的解决方法是使用 OSC Port 这个组件


 

图三 OscTest, 以及 OscPort

图三就是ADS组件的样式。在这边也引进了 OscTest。这个就是线性版的 OscPort。他只会分析
Γ₁ × Γ₂ 。但不会寻找稳定振荡的点。而 OscPort，就是利用 OscTest 的原理，再配合 Harmonic Balance 的模拟方法来求出稳定振荡的解。

而 OscTest 里卖的是什么药呢? 其实是非常简单的。

 

图四 OscTest 的原理

OSCTest 的原理是画在图四中。可以看得出来，OscTest 中，有一个隐藏起来的 Port。图四的种种设定如下：

S₂₁ = 1
S₃₂ = 1
S₁₃ = 1
S₁₂ = 1 (只有在非主频率时才是这样，DC、 2倍频、3倍频…，在1倍频时S₁₂ = 0 )

所以，这个设定中，其实对于非主频率，是没有影响的，因为 S₂₁ = S₁₂ = 1 。也就是有接没接都一样。但是对于主频率来说，S₁₂ = 0。这个时候，回来的讯号，只能透过 Port2->Port3->Port1 这条路了。 所以， 

从 Port 3 发射讯号，经 Port 1 反射，弹向 Port 2 的讯号，就等于文章一开始提到的 Γ₂ ; 
弹向 Port 2 的讯号，经 Port 2 反射，发射向 Port 3 发出的讯号，就等于文章一开始提到的 Γ₁ 

于是要计算 Γ₁ × Γ₂ 其实就等于计算 OscTest 中的 S₃₃ 。


由于这个方法，把两个反射系数的相乘化简成一个反射系数，所以是很漂亮的操作方法。因此，在起振时，应该是：

|S₃₃| > 1
Phase(S₃₃) =0

Harmonic Balance 找到这个起振条件之后，会逐渐增加输入到 Port 3 的功率。逐步增加到 |S₃₃| = 1 在增加的过程中，也会调整频率，让 Phase(S₃₃) =0。所以在不断猜解的过程中，找到稳定振荡的条件，因此振荡频率以及振荡的大小都可以很准确的找出来哦。

不过，因为这是猜解的过程，所以有时候，振荡的频率如果一开始给得太离谱，就会导致猜不出来。或者，如果这个振荡器有多重振荡条件的话，这个振荡器的模拟，也会找不出来哦。